爱华网
tuopu dongli xitong
拓扑动力系统
topological dynamic system
又称抽象动力系统,是具有连续性质的动力系统它是通过拓扑映射（不一定通过微分方程）来定义的。设常微分系统
[685-10] ()的右侧函数[685-18],且满足解的惟一性条件，[685-19]为维欧几里得空间。由于()与无关,不失一般性，可设()的每个解(,)在整个实轴上有定义，于是它确定了[685-19]×到[685-19]的变换，满足：
① 初值条件：(,0)=;
② (,)对，一并连续；
③ 群的条件：即对任意[kg2][kg2][685-19]，任意，[kg2][kg2]有[685-17]；
④ (,)对可微。
为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间设(,)是×到且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作[685-20],其中参数代表时间。点集{(,),[kg2][kg2]}称为过点的轨线或轨道,记作(,)。仿此,称[685-11]为正半轨线，[685-12]为负半轨线。(；[685-130]为弧段当[kg2][kg2]((半群),[685-20]称为半动力系统或半流；当[kg2][kg2]（整数加群）,[685-20]称为离散动力系统或离散流。若(,)=，对一切[kg2][kg2],则称点为休止点，若(，+)＝(,)，对一切[kg2][kg2]，其中>0，则称(,)为周期轨线,满足上述等式的最小正数，称为周期轨线的周期。
例如，下面是一个有趣的拓扑动力系统──别布托夫系统。
令[685-14]对于()，()[kg2][kg2] ,定义距离
[685-15]。对距离， 构成完备的可分的度量空间。定义映射：×→ 如下：
[685-16]，于是它构成一个拓扑动力系统，称为别布托夫系统，简记为[685-21]。
由个符号所组成的一切可能的双无穷序列,在上述类似的距离和轨线的定义下，组成动力系统，称为符号动力系统，它可视为[685-21]的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入[685-21]成为它的子系统。
若()≡，则((),)是休止点；若 (+)＝()，对一切[kg2][kg2]，其中>0，则(()，)是周期轨线。周期轨线在[685-21]中处处稠密。另外[685-21]中含有在中处处稠密的轨线。
极限点集及轨线分类 G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(→±∞)的状态。
极限点集 设：实数列[686-01]。如果有[686-02]，则称点是轨线 (，)的-极限点，[651-110]表示(，)的一切－极限点集。若[686-03]，则称[kg2][kg2]是(, )的－极限点，表示(, )的一切－极限点集。
不变集 设给定集合，若对一切[kg2][kg2],(,)=，则称是不变集。[651-110]和是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。
极小集 集合∑称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密另外，在[685-19]上所定义的拓扑动力系统,若对轨线(,)而言,[686-04]，则(,)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当≠时，情形就不同了。
例如，[686-05][2kg]式中，的周期都为 1。这样就在二维环面(上定义了动力系统。当是有理数时，(上都是周期轨线；而是无理数时, (上的每条轨线在其上处处稠密，(构成紧致极小集。
又如，前例中,当 是无理数时，令[686-06]，[686-07][2kg]，式中 [600-0](，)是对 ，周期都为 1的连续周期函数。对[686-09]；当[686-10],[686-11]。直观地说，这就是将前例中的一条过点 且在(上处处稠密的轨线用奇点切断。这时(不再是极小集，而奇点是极小集。
伯克霍夫证明，若是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统至少包含一个紧致极小集。
当是紧致的二维定向流形,在其上定义了光滑动力系统。若是的极小集且在上无处稠密,则必是休止点
或周期轨线。若[651-110]中不包含休止点或周期轨线,则[651-110]=(=。但当只是光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常微分方程定性理论）。
轨线分类 根据轨线的极限点的性质，可分为：
① 若[651-110]=，则称(,)为正向远离；
② 若[651-110]≠,但(,)∩[651-110]=，则称(,)为正向渐近；
③ 若[686-08],则称(,)为正向泊松稳定，简称(稳定。
仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为或稳定。休止点和周期轨线是稳定的。上的连续动力系统的 稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 或 稳定轨线必是[kg2]稳定轨线。而当≠时,情形就完全不同了如前述的[kg2]上被奇点切成两段的轨线, 一条是稳定的, 另一条是稳定的,而(上其余的都是 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来， 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。
设点[kg2][kg2]，若存在它的邻域()及时间>0,使得当≥ 时,()∩(,)=，则称为游荡点。上的所有游荡点集是上的不变开集。=是相对于的非游的点集,它是不变闭集。所有稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非稳定也非稳定，但其上都是非游荡点。
对于稳定轨线(,),根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。
若对任给>0,存在()>0及上对()而言的相对稠密集{}，使得对一切[kg2][kg2]和一切，有((,),(,+))，则称轨线(，)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为>0，则可取()=,=。
若上述相对稠密集{}是依赖于轨线上的点=(,)或者说依赖于的，即{()},则称(,)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是：Σ是紧致、交换、连通拓扑群。
前例中未被奇点切断的轨线都是稳定的,但它们不是回复的。类似地，可构造双周期函数[600-0](，)，使得整个环面(是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。
A.M.李亚普诺夫稳定性（见常微分方程运动稳定性理论）、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非自治微分方程的解来引进动力系统，即所谓“斜积流”，这是值得注意的动向。
张芷芬 黄文灶
以上就是网友分享的关于"拓扑动力系统"的相关资料，希望对您有所帮助，感谢您对爱华网的支持！
