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狄利克雷级数
Dirichlet series
又称指数级数，即形如
[120-5] (1)的级数,简记为[120-6]，式中 是复常数；[120-7][120-8]；=+i；及是实变数。若(1)收敛，则记其和为()。当=时,级数(1)是e(的幂级数,其性质可由幂级数的性质推出，由此启示人们研究一般指数级数的性质。当=ln时,级数(1)成为[120-9]这是P.G.L.狄利克雷在解析数论中引用的重要级数;在=1的最简单的情形，它称为黎曼 函数。此外,把狄利克雷级数推广到积分的情形就是拉普拉斯变换，因此两者有很多类似之处。
收敛性 对一般指数级数有阿贝尔型的定理：设级数(1)在一点收敛，则它在任何角域│arg(-)│(/2)中一致收敛。这样，如级数(1)在一点[120-10]收敛(绝对收敛)，则它在任何点=+i(>)收敛(绝对收敛)。于是级数(1)属于下列三种情况之一：①存在着有限数 (),级数在半平面>(>)内收敛(绝对收敛),在半平面()内发散(不绝对收敛)。这时()称为级数 (1)的收敛横坐标(绝对收敛横坐标),>(>)称为收敛半平面（绝对收敛半平面）,=(=)称为收敛轴（绝对收敛轴）。②对任何 =+i,级数发散（不绝对收敛）,这时称级数(1)的收敛（或绝对收敛）横坐标为+[8h]。③对任何=+i,级数收敛（绝对收敛）,这时称级数(1)的收敛（绝对收敛）横坐标为－[8h]。
对级数 (1)还可引进一致收敛横坐标的概念。级数(1)的一致收敛横坐标是
[121-1]。这几个收敛横坐标有如下关系：[121-2q]。当=时，[121-2]，但这在一般情形下不成立，例如对于
[121-30]
对于级数(1)的各种收敛坐标,有柯西－阿达马公式的推广，如[121-4]，设
[121-5]且令 [121-6] [121-7]
[121-8]
[121-9]如[121-10],则令[121-11]。于是[121-13][121-14][121-15]
关于收敛横坐标还有一个简单的不等式：
[121-16]
解析性 根据阿贝尔型定理以及外尔斯特拉斯定理，在上述情况①下,()在>内解析;在情况③下,()为一整函数。可是反之,并非任何整函数或在半平面>内的解析函数都可表示为指数级数..列昂季耶夫不限于考虑｛｝是正数序列的级数(1)。他证明了:任何整函数可写成三个式 (1)型级数的和，而在每一级数中，｛｝在从原点出发的一条射线上。对于无穷或有界凸区域内解析的函数，也有类似结果。
系数的表示和估计 如，那么对于>，
[121-17]式中是任一实数。由此可得柯西不等式的推广：
[121-18] (2)这里 [121-19]
式 (2)有种种推广，特别是对渐近指数级数的推广，可用来解决一些分析中的重要问题，如加权逼近问题、矩量问题的惟一性以及准解析函数问题等。
关于幂级数的奇异点、增长性、值的分布以及求和法等方面许多结果，都可推广到指数级数。
参考书目
S. Mandelbrojt, Sries de Dirichlet, Gauthier-Villars,Paris, 1969.
S.Mandelbrojt,Sries Adhrentes etc.,Gauthier-Villars,Paris, 1952.
余家荣
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