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分支过程
branching process
一种特殊的随机过程，它是一组粒子的分裂或灭亡过程的数学模型。例如，某种生物群中，每一母体（粒子）生育第二代（或不生育），第二代中每一母体又生育第三代……。以表示此群体中第代的个体数,{,=0,1,2,…}便是一分支过程。又如,原子反应中的中子数也构成分支过程。以下设=1，见[分支过程示意图]。
离散时间的分支过程 设时间参数为＝0,1,2，…，在分支过程理论中起重要作用的是分裂概率，它是任何一代的一个粒子分裂为 个的概率(=0,1,2,…)。其母函数（见概率分布）记为 [218-01]。假设各个粒子的分裂是独立进行的，这种分支过程{}通常称为高尔顿－沃森过程（简称G-W过程）,它是一个马尔可夫链（见马尔可夫过程）。
利用()可求出有关{}的下列诸量。若已知第代的粒子数[218-02],则下一代粒子数+1=的转移概率为[218-03]中的系数。以()表的母函数:[218-04]。由于=1,()=；[218-05] 从而可求出[218-06]中的系数的均值E=,其中[kg2]=[kg2]E=(1)。
关于的极限性质有：
[218-07]通常还关心群体是否会绝种的问题。设 0+表灭绝概率，即[218-09]。可以证明是方程()= (0≤≤1)的最小根。又 =1,若 ≤1；>1，这时还有[218-10],亦即粒子有无限增多的危险。
G-W过程的一般化 设有（≥2）种不同的粒子，,…m,以[218-001]表第代（或时刻）的第种粒子的个数，=1,2,…,,则[218-11]构成取值于维格子点空间的马尔可夫链。称{，=0，1，2,…}为多种类G-W 过程。以[218-12]表A中一个粒子分裂为中个粒子(=1,2,…,)的概率。与上述相仿，引进
[218-13],可以类似地研究 {}的转移概率、的分布以及第种粒子灭绝的概率等等。
连续时间分支过程 设时间参数 ≥0连续,()表示在短时间(,+)中发生一次分裂的概率，()表示一个粒子分裂为个的概率( =0,1,2,…)。若()、()连续，()>0，[218-14],则在时刻的粒子数()构成一连续时间马尔可夫链，于是可利用后者的理论来研究{()}。若 (),()不依赖于,则{()}是齐次的马尔可夫链，这时可以得到许多类似于对 G-W 过程所得到的结果。
参考书目
T. E.Harris,The Theory of Branchin Processes,Springer-Verlag,Berlin,1965.
K.B.Ashreyaand P.E.Ney，Branchin Processes,Springer-Verlag,Berlin,1972.
王梓坤
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