爱华网《随机过程理论》大作业 桑峰(SY0802206)
布朗运动理论简介
桑 峰
(北京航空航天大学电子信息信息工程学院,学号:SY0802206)
摘 要 本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍.首先对布朗运动的背景,性质进行了阐述,然后介绍了布朗运动的变形,最后指出了其跟平稳随机过程,白噪声之间的关系. 关键词 布朗运动 白噪声 平稳随机过程
0 概述
1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论.如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述.
从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程,具体的说,是连续时间,连续状态空间的马尔科夫过程.
1 布朗运动的数学描述
1.1 离散随机游走逼近
如图1,设粒子在t=0时刻位于原点O上,从
t>0时刻开始,每隔?t时间,粒子等概率的向左或者向右移动大小为?x距离,设t时p=1/2
刻粒子的位置为X(t),则X(t)可以表示为
图1 随机游走
X(t)=?x(X1+X2+"+X[t/?t]) (1)
式中,Xi反映的是粒子在第i步的运动情况,若粒子是向右移动,则Xi=1;若粒子向左移动,则Xi=?1.
[t/?t]表示不超过t/?t的最大整数.根据假设, Xi是独立的,且有P{Xi=1}=P{Xi=?1}=0.5,于是有
E[X(t)]=?xE[X1+X2+"+X[t/?t]]
??[t/?t]?=?x∑E[X?k]=0;??k=1??
D[X(t)]=(?x)2
D[X? (2) 1+X2+"+X[t/?t]]?
=(
?x)2[∑t/?t]
??D[X
k]=(?x)2?t?.??k=?1
??我们若设?x=(σ为正常数),代入式(2)中,并且令?t→0,得到
E[X(t)]=0;D[X(t)]=σ2t (3)
之所以假设?x=,是因为,对于某个固定时间t,当?t→0时,(2)式中方差的极限应该是个常数且不能为零,
若为零,则
X(t)依概率1为零.
根据中心极限定理[1],及E[Xi]=0;D[Xi]=1的事实,应该渐进的服从
正态分布N(0,1),也即
2[t/lim?t]→∞P?x
≤x???
=∫ du (4)
由此,我们给出以下的定义[2]:
随机过程{X
(t),t≥0}满足以下条件时,称之为布朗运动过程,简称为布朗运动.
(1) X(0)=0;
(2) {X(t),t≥0}是独立平稳增量过程；
(3) 对于固定的时间tf,X(tf)是均值为0,方差为
σ2tf的正态随机变量.
其中条件(1)(3)是根据上面的推导得出的,(2)是根据明确的物理背景的合理的假定.
从而布朗运动的分布函数为
f(x,t)=?2? (5)
1.2 扩散方程
1.1中给出的是用离散随机游走逼近的方法来推导布朗运动的分布函数的,下面从扩散方程的角度推导.
爱因斯坦根据物理学上的定律指出,布朗运动的分布函数f(x,t)满足偏微分方程(扩散方程)
?f(x,t)?2f(x,t)
=D?x2
(6) 上式中,D为扩散系数,D=2RT/Nf,R,N均为常数,f是反映液体性质的常量,T是温度.可以验证式
(5)是方程(6)的解,已经证明,若X(t)在t=0连续(依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
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2 布朗运动的性质
除了布朗运动的分布函数是正态分布外,布朗运动{X(t),t≥0}具有以下的性质:
(1) {X(t),t≥0}增量是平稳的，即对于给定
?s>0,X(t+s)?X(t)的分布不依赖于t. (2) {X(t),t≥0}增量是独立的,即对于所有的
t1<t2<"<tn,随机变量X(tn)?X(tn?1), X(tn?1)?X(tn?2),",X(t2)?X(t1),
X(t1)是独立的. 这两条性质是布朗运动的定义中所体现的.
(3) X(t)在t=0右连续,在t>0连续,
X(t)的任一样本函数x(t)在t>0连续,但图2 X(t)的一个样本函数
却处处不可导(图2).
性质(3)的严格的数学证明比较复杂,这里不再叙
述,感兴趣的读者可以参看文献[3-5].
(4) 联合概率密度
σ=1的布朗运动称为标准布朗运动.由布朗运动的性质可以推出标准布朗运动的联合概率密度[2]为
f(x1,x2,",xn)=
exp??????1?x21?1+(x2?x1)221+"+(xn?xn?1)2????nn?1????? (7)
(2π)[t1(t2?t1)"(tn?tn?1)]
任意布朗运动X(t)都可以令B(t)=X(t)
而转化为标准布朗运动.
(5) 首中时和最大值变量
标准布朗运动X(t)中,首次击中点(a,0)的时刻
Ta是一随机过程,称为首中时. Ta有如下的分布[2]
FT∞a(t) |a|/t
exp(?u2
du (8) 简单说明如下,对于a>0时,根据全概率公式有
P{X(t)≥a}=P{X(t)≥a|Ta≤t}P{Ta≤t}+P{X(t)≥a|Ta>t}P{T (9)
a>t}
(9)式的后项等于零,而在前项中，根据对称性
P{X(t)≥a|Ta≤t}=0.5(t时刻,X(t)在a上和a下的可能性是相同的),因此可以得到
FTa(t)=P{Ta≤t}=2P{X(t)≥a} (10) 从而再根据布朗运动的分布函数是正态分布的性质可以求出FTa(t).当a<0时,根据对称性,Ta=T?a分布相同,可以求出a<0时, FTa(t)的
表达式,综合可以得到式(8). 标准布朗运动在时间区间[0,t]上取得的最大值
M(t)=0max≤s≤t
X(s)也是一随机过程,其分布函数[6]
FM(t)为
Ft∞
)=?u2dM(au a≥0 (11) ?(? 1 a<0简单说明如下,a≥0时,有布朗运动的连续性可知, FM(t)=P{
0max≤s≤t
X(s)≥a}
=P{Ta≤t},从而可
以求出FM(t)的表达式;当a<0时,因X(0)=0,故
FM(t)≡1.
3 布朗运动的变形形式
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们
有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
X(t)是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些变形形式[2-3]:
X1(t)=cX(t/c2) c>0;
X?tX(1/t) t>0
2(t)=??
??0 t=0
;X3(t)=X(t+h)?X(h)h>0; (12) Y(t)=|X(t)| t>0;
iX(t)=X(t)+μtt>0.
4 布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论,布朗运动的n维分布函数不满足严格平稳随机过程的定义,其2维分布函数也不满足广义平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动的自相关函数[2].
设{X(t),t≥0}是参数为σ2
的布朗运动,t1<t2,则
RX(t1,t2)=E[X(t1),X(t2)]=E[X(t1),X(t1)+X(t2)?X(t1)]
=E[X(t1),X(t1)]+E[X(t1),X(t2)?X(t1)]由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
∴RX(t1,t2)=E[X(t1),X(t1)]=D[X(t1)]=σ2t1(13)
但是,布朗运动的一些变形形式却具有平稳性质.以下是一例.
设X(t)是标准的布朗运动,对于α>0,定义随机过程(统计力学中的Ornstein-Uhlenbeck过程[2])
V(t)=exp(?αt/2)X(exp(αt))t≥0 我们计算E[V(t)]和RV(t1,t2).
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E[V(t)]=exp(?αt/2)E[X(exp(αt))]=0 t1<t2时
RV(t1,t2)=E[V(t1),V(t2)]=exp(?
α(t2+t1)
E[X(exp(αt1),X(exp(αt1)]=exp(?α(t2+t1)
(14) exp(αt1)
=exp
α(t1?t2)
t1≥t2时, RV(t1,t2)=exp
α(t2?t1)
(15) 式(14-15)表明, V(t)是一个广义平稳随机过程. 白噪声定义[6]为一个均值为零的且具有恒定功率谱分布S(ω)=N0/2ω∈(?∞,+∞)的平稳过程,根据维纳-辛钦公式,可以得到白噪声的自相关函数为
R(τ)=N
0δ(τ).下面从布朗运动的角度推导白噪声
过程:
设{X(t),t≥0}是参数为σ2
的布朗运动,考察以 下的随机过程
W(t)=
X(t)?X(t?h)
为常数 (16)
为了便于计算随机过程 W(t)的均值E[W(t)]和自相关函数RW(t1,t2),我们根据t1,t2的大小分开求.
1) t1≤t2,取t2?t1<h,根据式(13),得到
2
E[W(t)]=0;RW(t(1,t2)=
σt1?t2+h)
h2
2) t1≤t2,取t2?t1≥h,根据式(13),得到
E[W(t)]=0;RW(t1,t2)=0
3) t1>t2,取t1?t2<h,根据式(13),得到
2
E[W(t)]=0;RW(t1,t2)=
σ(t2?t1+h)
h
4) t1>t2,取t1?t2≥h,根据式(13),得到
E[W(t)]=0;RW(t1,t2)=0
因此
???E[W(t)]=0;????σ2(?|t2?t1|+h)???R|2(17) W(t1,t2)=?h?t1|≤h ??
???0 t|2?t1|>h可以看出W(t)为一平稳的随机过程. 令τ=t1?t2,则
RW(t1,t2)=R(τ)=σ2(?|τ|+h)
h2|τ|<h(18)
当h→0时, R(τ)→∞,但是我们注意到
∫∞
R(τ)dτ=h
σ2(?|τ|+h)
?∞∫?hh
2dτ=σ2 (19) 结合δ函数的定义:
δ(t)=??0 t≠0??∞ t=0;∫∞?∞δ(t)dt=1 (20)
可以发现,当h→0时, R(τ)→σ2
δ(τ),而
h→0时, W(t)=
X(t)?X(t?h)
成为X′(t),即
X′(t)为X(t)的导数过程,根据上面的分析, X′(t)过程为平稳的随机过程,而且X′(t)和白噪声有着一样的性质,根据白噪声的定义, X′(t)就是白噪声过程.
从布朗运动的角度出发,可以得到白噪声过程的一个性质,这里我们不加证明的给出,详细证明可以参看文献[6].
设f(x),g(x)为区间[a,b]上的连续函数, 设
{X(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动,则
E??b?∫af(t)X′(t)dt∫b′?2
bag(t)X(t)dt??
=σ
∫ag(t)f(t)dt (21)
令g(x)=f(x)
，有
D??b?∫af(t)X′(t)dt?
?=σ2b
?
∫af2(t)dt (22)
这表明,时变的连续函数和白噪声的乘积在一个
区间上的积分得到的一个随机变量,这个随机变量具有式(22)的性质
5 总结
布朗运动是应用随机过程中的重要内容之一,具有鲜明的物理背景.布朗运动虽然不是平稳随机过程,但它的某些变形及推广形式却具有平稳的性质,从而使得它们具有更广泛的用途.布朗运动的微分是白噪声过程,因此,布朗运动的微分赋予白噪声更明确的定义,从这个角度可以更好的理解白噪声过程,也能得出一些重要的结论.
参 考 文 献
1 ?数学手册?编写组.数学手册.北京:人民教育出社,1977:802—803
2 (美)Sheldon M. Ross.龚光鲁 译.应用随机过程—概率模型导论.北京:人民邮电出版社,2007:485—487,502
3 (美)Samuel Karlin. Howard M.Taylor.庄兴无 等译.随机过程初级教程.北京:人民邮电出版社,2007:333
4 P.Lévy. Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Paris:Gauthier-Villars,1948 5 K.Itò and H.P.Mchean.Diffusion Processes and Their Sample paths.Berlin:Springer-Verlag,1965
6 柳金甫,李学伟.应用随机过程.北京:中国铁道出版社,2000: 130—131,135
7 周荫清.随机过程理论.北京:电子工业出版社,2006:79
