爱华网广东省梅州中学2012届高三第二次月考
数学试题（文科）试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合M???1,1?,N???
x
12
?4,x?Z?
（ ）
?2?2
x??，则
M∩N=?
A．{－1,1}
B．{0} C．{－1} D．{－1,0}
2函数
y?
的定义域为（ ）
A. [?
2,?1)?(1,2] B. (?2,?1)?(1,2) C. [?2,?1)?(1,2] D. (?2,?1)?(1,2)
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项为3，前3项和为21，
则a3?a4?a5?（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189 4. 若函数y?f(x)是函数y?ax(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过
点a)，则f(x)? ( )
A. log12x B. log1x C.
2
2
x
D. x2
5已知f(x)为R上的减函数，则满足f(1
x
)>f(1)的实数x的取值范围是
（ A．(－∞,1) B．(1,+∞) C．(－∞,0)∪(0,1) D．(－∞,0)∪(1,+ ∞)
?x>0
6. 在约束条件?
??y?1
下，目标函数z?2x?y的值（）
???2x-2y+1?0
A．有最大值2，无最小值 B．有最小值2，无最大值 C．有最小值1
2，最大值2 D．既无最小值，也无最大值
7. 函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(x?1)?2x2
?8x?8
，
f(x?1)?f(x?1)?4(x?2)
f(x?1),?
12
,f(x)
，且
成等差数列，则x的值是
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）
（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或-3
8. 一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 （ ） A．2?C．4?
2 2
B．3?D．6
2
9. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x), 且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11)
10函数f(x)=1+log2x与g(x)=2－x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
（ ）
二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是
选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．) 11. 设f(x)为R上的奇函数，且f(?x)?
f(x?3)?0，f(?1)?1,则f(5)?
．
12．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 13、已知|a|=|b|=|a?b|=1,则|a+2b|的值为 ．
14．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，曲线??3截直线?cos(??15．（几何证明选讲选做题）
如图，PAB、PCD是圆的两条割线，已知PA＝6，AB＝2，PC＝________
12
?
4
)?1所得的弦长为
CD．则PD＝
．
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三．解答题： （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （本小题满分12分）
已知f(x)?2sinxcosx?23cos2x?1?3，x?[0,]
2
?
⑴ 求f(x)的最大值及此时x的值； ⑵ 求f(x)在定义域上的单调递增区间。 17.（本小题满分12分）记关于x的不等式－1|≤1的解集为Q．
（1）若a=3，求P； （2）若Q?P，求正数a的取值范围． 18．（本小题满分14分）
如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD?AC?DE?2AB=1，且F是CD
的中点．AF? （Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； （Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； (III) 求此多面体的体积．
19.（本小题满分14分）
一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml和700ml两种型号,某天的产量如右表(单位:个): 按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个. （1） 求z的值；
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x?ax?1
?0
的解集为P，不等式|x
E
B
C
F
(18题图)
D
（2） 用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个
样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率．
20．(本小题满分14分)
设函数f(x)=tx+2tx+t－1(x∈R,t>0)． （1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）若h(t)<－2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
21. (本小题满分14分)
已知数列
an?中，a1?1,an?1?
2
2
an2an?1
（n?N)．
（1）求数列?an?的通项公式an； （2）设：
2bn
?1an
?1 求数列?bnbn?1?的前n
项的和Tn；
（3）已知P?(1?b1)(1?b3)(1?b5)?
(1?b2n?1)，求证：Pn?
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导读：参考答案二、填空题答案：11.112.3213.714.4215.12三、解答题（将各题的解答过程写在相应位置上）16.（本小题满分12分）解：⑴f(x)?2sin(2x?)?1-----------3分3?0?x????23?4?3?12?3?2x???2当2x?⑵由?3?3?时，即x??3?时，ymax?1-----------6分?12?2x??2得0参考答案
二、填空题答案： 11.1 12.
32
13. 7 14. 42 15. 12
三、解答题（将各题的解答过程写在相应位置上）
16. （ 本小题满分12分）
解：⑴f(x)?2sin(2x?)?1-----------3分
3
?0?x??
?
?
2
3?4?3
?
12
?
3
?2x?
??
2
当2x?⑵由
?
3
?
3
?
时，即x?
?
3?
时，ymax?1 -----------6分
?
12
?2x?
?
2
得0?x?
?
12]
?f(x)在定义域上的单调递增区间[0,-----------12分
17（ 本小题满分12分） 解：（1）由
x?3x?1
?0，得P??x?1?x?3?．-----------5
分
（2）Q??xx?1≤1???x0≤x≤2?．
由a?0，得P??x?1?x?a?，又Q?P，所以a?2， 即a的取值范围是(2，??)．-----------12分
18. （ 本小题满分14分）
解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点， ∴FP∥DE，且FP=DE.
2
1
又AB∥DE，且AB=DE. ∴AB∥FP，且AB=FP，
2
1
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∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． …………3分 又∵AF?平面BCE，BP? ∴AF∥平面BCE …………5分
（Ⅱ）∵AF?CD?2，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD 又AF?平面ACD ∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE 又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE 又∵BP?平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE …10分 (III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，
SABED?
(1?2)?2
213
?3，面ABDE?面ADC?等边三角形
AD边上的高就是四
棱锥的高
VC?ABDE?
?3?
?
…………14分
19. （ 本小题满分14分）
解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取
x
个，由题意得,
255000
?
x8000
,
,所以x=40.
-----------2分
则100－40－25＝35，分
(2) 设所抽样本中有m个500ml杯子,
因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本, 所以
20005000
?m5
,,解得
255000
?35n
,n=7000， 故
z＝2500 --6
m=2 -----------9分
也就是抽取了2个500ml杯子,3个700ml杯子,
分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为
(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)
共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,至少有1个500ml杯子的概率为-----------12分
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710
.
20（ 本小题满分14分）
解：（1）?f(x)?t(x?t)2?t3?t?1(x?R，t?0)，
?当x??t
时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，
即h(t)??t3?t?1． ------------5分 （2）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t3?3t?1?m，
由g?(t)??3t2?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）．------------7分
当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：
分
分
?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m．------------12
h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，
即等价于1?m?0，------------13分
所以m的取值范围为m?1．------------14分
21.（ 本小题满分14分） 解：（1）由an?1?
an2an?1
得：
1an?1
?
1an
?2
且
1a1
?1，
所以知：数列?
1an
?1?
?是以1为首项，以2为公差的等差数列， ……2分 ?an?
12n?1
所以
?1?2(n?1)?2n?1,得：an?
； --------4分
1n
（2）由
2bn
?
1an
?1得：
2bn
?2n?1?1?2n,?bn?
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，
从而：bnbn?1?
1n(n?1)
------------6分
11?2
1
则 Tn?b1b2?b2b3???bnbn?1?
11
1
1
1
1
1
?
12?3
1)
???
1n(n?1)
=(?)?(?)?(?)???(? ?1?
21
2
3
3
4
n
n?1
?
nn?1
n?1
------------9分
21?43?65???
2n2n?1
（3）已知Pn?(1?b1)(1?b3)(1?b5)?(1?b2n?1)?
?(4n)?(4n)?1,?
2
2
2n?1
2n2n?1
352n?1
设：Tn?????，则Pn?Tn
242n
21?32?43???
2n2n?1
?2n?12n
?
2n
从而：Pn2?PnTn?
?2n?1
故：
Tn? ------------14分
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