爱华网统练（一）
【模拟试题】
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 除以9的余数是（ ）
A. 1 B. 4 C. 7 D. 8
3. 函数的定义域和值域均为，则等于（ ）
A. B. 2 C. D.
4. 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如下图，由图可知一批电子元件中寿命在100—300小时的电子元件的数量与寿命在300—600小时的电子元件的数量的比是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
7. 箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 空间四条直线满足，，，，则必有（ ）
A. B. C. 或 D. 且
9. 若，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 的外接圆圆心为O，且，则∠C等于（ ）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知向量，，则与的夹角 。
12. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为 。
13. 椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点），则的面积S= 。
14. 数列中，，，且，则常数 。
15. 一排7个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与丙之间也至少有一个空位，则不同的坐法有 种。
16. 已知函数，当时，有。给出以下命题：
（1） （2） （3） （4）
则所有正确命题的序号是 。
三. 解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于，两点。
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线相切。
18. （本题满分14分）
在同一平面内，和拼接如图所示，现将绕A点顺时针旋转角后得，交DC于点E，交BC于点F，，，。
（1）当AF=1时，求；
（2）求证：对任意的，为定值。
19. （本题满分14分）正四棱锥S—ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB=1，直线AD到平面SBC的距离等于。
（1）求斜高SM的长；
（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；
（3）在SM上是否存在点P，使得OP⊥平面EBC？并证明你的结论。
20. （本题满分15分）
（1）设，，，证明：；
（2）等比数列中，，前n项的和为，且，，成等差数列，设，数列前n项的和为，证明：。
21. （本题满分15分）
已知函数和（其中，，。
（1）求m的取值范围；
（2）方程有几个实根？为什么？
【试题答案】
一.
1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. B 7. D 8. C
9. B 10. A
二.
11. 120° 12. 13. 14. 10 15. 100
16. （1），（4）
三.
17. 解：（1）设抛物线，将（2，2）代入，得（4分）
∴ 为所求的抛物线的方程（5分）
（2）联立消去y，得到（7分）
设AB的中点为，则
∴ 点M到准线的距离
（9分）
（11分）
∴ ，故以AB为直径的圆与准线相切（12分）
（注：本题第（2）也可用抛物线的定义法证明）
18. 解：（1）在中，，即（5分）
又 （7分）
（2）
（14分）
（注：用坐标法证明，同样给分）
19. 解：（1）连OM，作OH⊥SM于H
∵ SM为斜高 ∴ M为BC的中点 ∴ BC⊥OM
∵ BC⊥SM ∴ BC⊥平面SMO
又OH⊥SM ∴ OH⊥平面SBC（2分）
由题意，得
设，则
解之，即（5分）
（2）设面，取AD中点N，连SN，设
∵ AD//BC ∴ AD//面BEFC 而面面BEFC=EF ∴ AD//EF
又AD⊥SN AD⊥NM AD⊥面SMN
从而EF⊥面SMN ∴ EF⊥QS，且EF⊥QM
∴ ∠SQM为所求二面角的平面角，记为（7分）
由平几知识，得
∴ ∴
∴
即所求二面角为（10分）
（3）存在一点P，使得OP⊥平面EBC，取SD的中点F，连FC，可得梯形EFCB，取AD的中点G，连SG，GM，得等腰三角形SGM，O为GM的中点，设，则H是EF的中点。
连HM，则HM为平面EFCB与平面SGM的交线
又∵ BC⊥SO，BC⊥GM ∴ 平面EFCB⊥平面SGM（12分）
在平面SGM中，过O作OQ⊥HM，由两平面垂直的性质，可知OQ⊥平面EFCB
而平面SOM，在平面SOM中，延长OQ必与SM相交于一点
故存在一点P，使得OP⊥平面EBC（14分）
20. 解：（1）当n为奇数时，，于是（3分）
当n为偶数时，，且，于是
（6分）
（2）∵
∴ 公比（9分）
∴ （10分）
（注：如用求和公式，漏掉的讨论，扣1分）
（12分）
∴ （15分）
21. 解：（1）∵
∴ ∴ （1分）
即
∴ （3分）
① 当，即时，上式不成立（4分）
② 当，即时，。由条件，得到
由，解得或（5分）
由，解得或（6分）
∴ m的取值范围是或（7分）
（2）有一个实根（9分）
，即
记，则
∵ ， ∴ （10分）
∴ ，故有相异两实根
， ∴
显然，
∴ ∴
∴ （12分）
于是
而为三次函数的极小值点，故与x轴只有一个交点
∴ 方程只有一个实根（15分）
