几何:等腰三角形的性质和判定常添的辅助线
[学习目标]
代数:会求立方根,会用根号表示立方根;
几何:会添加一些常见的辅助线
二. 重点、难点:
重点:
代数:立方根的理解
几何:添加辅助线
难点:
代数:立方根的求解及表示
几何:辅助线的添加属于构造图形,相对来说是较难的。
三. 知识要点:
代数:
1. 立方根(三次方根)——
2. 开立方:立方开立方
3. 立方根的个数——
4. 平方根与立方根的比较
(1)任何数都有立方根,而负数没有平方根。
(2)任何数的立方根只有一个,而正数有两个平方根。
5. 用计算器求立方根
几何
等腰三角形——
应用等腰三角形的性质和判定解题时常添的辅助线:
(1)连结两点构成等腰三角形
(2)截取或延长线段,得到相等的线段,构成等腰三角形
(3)作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高线或底边上的中线
(4)在大角内作一个角等于已知小角,构成等腰三角形
【典型例题】
例1. 求下列各式的值
(1) (2) (3)
(4) (5)
分析:
(1)首先把带分数转化成假分数
(2)(3)先把被开方数写成3次方的形式
(4)注意符号问题
(5)先计算出被开方数,写成假分数的形式
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
例2. 解方程
(1)
(2)
分析:(1)x即是0.125的立方根
(2)把方程化为,把看成一个整体。
解:(1)
(2)
例3. 已知:△ABC中,AB=AC,D点在AC上,求证:∠ADB>∠ABD。
分析:(1)可通过作辅助线把大角化小角,进而比较出∠ADB、∠ABD的大小。
(2)也可不做辅助线,利用传递性证出结论
证明:
方法一:过点D作DE∥BC交AB于E
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C(等边对等角)
∵DE∥CB
∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C(两直线平行,同位角相等)
∴∠AED=∠ADE(等量代换)
又∠AED=∠ABD+∠1(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠AED>∠ABD
∴∠ADE>∠ABD
又∠ADB>∠ADE
∴∠ADB>∠ABD
方法二:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C(等边对等角)
又∠ADB=∠C+∠2(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠ADB>∠C
即∠ADB>∠ABC
又∠ABC>∠ABD
∴∠ADB>∠ABD
例4. 已知:∠EBC的角平分线与∠FCB的角平分线交于点D,BE∥CF
求证:BE+CF=BC
分析:要证BE+CF=BC,必须把BE,CF放在一条线上。
证明:延长CD交BE的延长线于A,

∵BE∥CF
∴∠EAD=∠DCF(两直线平行,内错角相等)
又∠BCD=∠DCF(角平分线定义)
∴∠EAD=∠BCD(等量代换)
∴△ABC为等腰三角形(等角对等边)
又BD是∠EBC的角平分线
∴AD=CD(等腰三角形顶角角平分线与底边中线重合)
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(ASA)
∴AE=CF(全等三角形对应边相等)
∵BE+AE=AB
∴BE+CF=AB(等量代换)
又∵AB=AC
∴BE+CF=BC(同上)
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 求值:
(1) (2) (3)
2. 解方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3. 如图,已知△ABC是等边三角形,D为△ABC外一点,且∠D=60°,DB=DE,
求证:AE=CD
【试题答案】
1. (1)±3 (2) (3)-2
2. (1) (2) (3)
(4) (5)
3. 提示:连结BE,证△ABE≌△CBD,从而证出AE=CD。