爱华网第二章 极限复习
二. 教学重、难点：
【典型例题】
[例1] 已知、的极限存在且满足：，，求。
解：设
∴ 解得，
∴
[例2] 设是一个三次函数，，，求的值。
解：由题意知：
由，得①
由，得②
①②联立得， ∴
[例3] 设分别求，的值。存在吗？
解：
∵
∴
∴
∵ ∴ 不存在
[例4] 设，，讨论的连续区间。
解：当时， ∴
当时， ∴
∴ 解析式为且，
不存在 ∴ 连续区间为
[例5] 用数学归纳法证明能够被9整除。
解：（1）当时，被9整除
（2）假设时，能被9整除，则当时，
以上两项均能被9整除，故当时命题也成立
由（1）和（2）知，对任意命题成立
[例6] 已知数列中，，，（1）求的值；（2）推测的通项公式，并用数学归纳法证明所得结论。
解：（1）， ∴
∴ ∴
∴ ∴
（2）由，，，
猜想，下面用数学归纳法证明
① 当时，结论成立
② 假设时，结论成立
即且有
当时，
∴
∴ 时，结论成立
由①②知，结论对都成立
[例7] 求
解：方法一：∵
∴
方法二：
[例8] 设数列满足，
（1）证明：对一切正整数成立；
（2）令判断与的大小，并说明理由。
证：（1）① 当时， ∴ 成立
② 假设时，成立
当时，
∴ 时，成立
∴ 由①②知，对一切正整数成立
（2）
∴
【模拟试题】
一. 选择题
1. （ ）
A. 1 B. C. 0 D.
2. 下列极限为1的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若展开式的第3项为288，则的值是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
4. 设在处连续，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 的值是（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 的值是（ ）
A. B. 3 C. D. 2
7. （ ）
A. B. 3 C. D.
8. 下列各函数中，在处不连续的是（ ）
A. B.
C. D.
二. 解答题：
1. 已知等差数列前三项为，前项和为，，（1）求及的值；（2）求。
2. 设函数；在处是否有极限？
3. 已知数列满足，。
（1）求证：（）
（2）求，猜想通项公式，并用数学归纳法证明。
【试题答案】
一.
1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. C
二.
1. 解：
（1）由已知：，，及，所以，所以，公差。
由，得，所以，解得或（舍去），所以。
（2）由，得，
所以
所以
2. 解：当时，，所以；当时，，所以不存在，所以在处没有极限。
3.
（1）证明：① 因为，所以，又因为，所以，且，所以，故时不等式成立
② 假设时，不等式成立，即，则，所以，，所以，所以时不等式也成立，由①、②知对一切，成立。
（2）解：由（1）知，计算得，，，猜想：（）下面用数学归纳法证明，① 时，等式成立；② 假设时，等式成立，即，即时，，所以时等式也成立，由①、②知，对于一切，等式都成立。
