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几何学
geometry
数学中最古老的一个分支。最初的一些几何概念和知识，可上溯到史前时期，早在新石器时代的中国西安半坡遗址出土的陶器上，就已经有了圆、方、等边三角形等几何图案。在古埃及，由于尼罗河水年年泛滥，经常冲去地界，所以人们必须经常进行土地测量，以确定地界。所以英文中几何学一词是由字首geo（土地）和字尾-metry(度量术)合在一起组成的，直译就是测地术。中国古代数学家对几何学也有很大贡献。据中国早期的一部数学著作《周髀算经》记载，公元前1000年左右商高就知道应用勾三股四弦五（勾股定理）来进行测量，比希腊毕达哥拉斯发现勾股定理要早500年左右，古埃及人所积累的几何学知识后传入希腊，古希腊人运用逻辑推理的方法，发展成论证几何学。公元前3世纪，欧几里得集前人的几何知识之大成，编写出13卷的《几何原本》。书中给出一些基本定义，然后以不加证明的5个公设与5个公理为基础，运用逻辑推理，演绎出全部欧几里得几何（简称欧氏几何）严密的定理系统。这标志几何学已经发展成为一门比较完整的纯粹数学的理论。《几何原本》由于知识的完善和逻辑结构的严谨，对后世的数学产生了极其深远的影响。
古代数学家很早就注意到欧几里得的《几何原本》在逻辑上仍然是有缺陷的，即公理不够用，因此他在证明某些定理时不得不或明或暗地依据图形的直观来作说明。许多数学家为此作了改换和增加公理的尝试，其中著名的有阿基米德公理，G.康托尔和R.戴德金的连续公理，以及M.帕施的顺序公理等。1899年D.希尔伯特在他的《几何基础》一书中，给出了欧几里得几何的完整的公理系统。根据这个公理体系可以推导出全部欧几里得几何。希尔伯特的这个公理体系陈述最简单，最受人们欢迎，他的《几何基础》成了数学家们公认的关于近代公理法的经典著作。
关于《几何原本》的另一个问题是它的第五公设。该公设的陈述为：若两条直线与另一直线相交，且此直线与前两直线同侧相交内角之和小于二直角，则前两直线必相交（等价的陈述是“欧几里得平行公理”：平面上过已知直线外一点，只有一条直线平行于已知直线)。这与前4个公设相比太复杂了，不那么显而易见，更像是一条定理，因此人们怀疑它作为公设的地位。后来，很多数学家都试图用其他公设和公理来证明它，结果都失败了。试证第五公设的失败，最后导致非欧几何的产生。19世纪H.M.罗巴切夫斯基、J.波尔约和C.F.高斯各自独立地发现，否定第五公设也不致导出矛盾，即以“平面上过直线外一点至少有两条直线与已知直线不交”（称为罗氏平行公理）来代替第五公设，可以得到一个无任何矛盾的新的几何系统，这种非欧几何称为罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何），也称双曲几何，G.F.B.黎曼用“在平面内过直线外一点，没有直线和已知直线不相交”代替第五公设，又得到另一种非欧几何，称为黎曼几何，又称椭圆几何，千百年来人们认为现实世界的客观空间只有欧几里得空间这一种描述，罗巴切夫斯基几何的发现，说明并非只有一种几何学，对于几何学及其对象的认识的这一拓广，冲破了传统的欧几里得几何学的束缚，标志着人类思想的一次解放。人们把罗巴切夫斯基比喻为几何学中的哥白尼，他的思想对几何学乃至整个数学发生了极其深刻的影响。欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何表面上虽然互相矛盾，但它们都反映了现实空间的相对真理，各有自己的适用范围，黎曼几何是相对论的数学工具就是明证，在射影几何里由F.克莱 因给出的依据变换群对几何学进行的分类中，和在微分几何里依据曲面的高斯曲率对几何学进行的分类中，这三种几何作为大量存在的各种不同几何的系统中的几个特殊情形，它们又是互相统一的。
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