爱华网排列、组合
二. 本周教学重难点：
1. 理解排列、组合的意义，掌握排列、组合数计算公式及性质
2. 能正确运用分类、分步计数原理合理地分类、分步，掌握排列、组合问题的一般方法
【典型例题】
[例1] 四名男生和三名女生按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站在两端；
（2）甲、乙二人不能站在两端；
（3）甲、乙二人之间间隔两个人；
（4）四名男生站在一起，三名女生站在一起；
（5）男女互相间隔开；
（6）三名女生排列顺序一定；
（7）甲不排在左端且乙不排在右端。
解：（1）① 位置分析法： ② 元素分析法：
③ 插空法： ④ 间接法：
（2）① 元素分析法：
② 间接法：
（3）捆绑法
（4）捆绑法
（5）
（6）
（7）① 甲在右端 ② 甲不在右端
∴ 3720种
[例2] 高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动。
（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
解：（1）（2）或
（3） （4）
（5）
[例3] 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果。
（1）4只鞋子没成双的；
（2）4只鞋子恰成两双；
（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双。
解：（1）种 （2）
（3）
[例4] 由0，1，2，3，4，5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5的倍数的数有多少个？
解：（1）从1，2，3，4中选2个排在首位和个位，
（2）先排0，5有再排其它 ∴
（3）
[例5] 用0，1，2，3，……，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？
解：（1）
（2）① 不含0，
② 含0，
[例6] 要从7个学校中选出10人参加数学竞赛，每校至少有1人，这10个名额有多少种分配分法？
解：（1）
（2） 插板法
10个名额
7个学校相当于6个挡板，9个空
[例7] 有6本不同的书
（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种分法？
（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？
（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，1人得3本，有多少种分法？
（4）分成三堆，其中一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？
（5）平均分成三堆，有多少种分法？
（6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？
（7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
[例8] 将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共多少种？
解：分别用代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入，再安排第二块田有或2种方法，不妨设放入，第三块田也有2种方法或。
（1）① 若第三块田放：
则第四、五块田分别有2种方法，共种方法。
② 若第三块田放：
第四块田仍有或2种放法。
（2）① 若第四块田放：
第五块田仍有2种方法。
② 若第四块田放：
则第五块田只能放，共有3种方法。
综上，共有种方法。
[例9] 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：方法一（直接法）：从0与1两特殊元素着眼分为三类：
① 取0不取1，可从四张卡片中选一张作百位，有种方法，0可在后两位有种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面与反面两种可能，故不同的三位数有（个）
② 取1不取0，同上分析可得不同三位数有（个）
③ 0和1都不取，有不同的三位数有（个）
综上，共有不同的三位数
（个）
方法二（间接法）：任取三张卡片可以组成不同三位数个，其中0在百位的有个（这些不合题意），故共有三位数个
【模拟试题】
一. 选择题
1. 用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有（ ）
A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种
A
B
C
D
2. 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要（ ）
A. 3360元 B. 6720元
C. 4320元 D. 8640元
3. 已知直线中的是取自集合中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于，那么符合这些条件的直线共有（ ）
A. 8条 B. 11条 C. 13条 D. 16条
4. 用1个1，2个2，3个3这样6个数可以组成多少个不同的六位数（ ）
A. 20 B. 60 C. 120 D. 90
5. 从4名男生和5名女生中任意选出3个参加一个会议，其中至少有一名男生，一名女生的不同选派方案有（ ）
A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种
6. 从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n，则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（ ）
A. 43 B. 72 C. 86 D. 90
7. 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A. 120 B. 324 C. 720 D. 1280
二. 解答题
1. 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
2. 二次函数的系数在集合中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？
3. 由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？
4. 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，将其依次从小到大的排列。
（1）第49个数是多少？
（2）23140是第几个数？
【试题答案】
一.
1. 解析：选涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法。
∴ 共有种涂法
故选A
2. 解析：从01至10中连续选3个，共有8种选法
从11至20中连续选2个，共有9个种选法
从21至30中选1个，共有10种选法
从31至36中选1个，共有6种选法
∴ 共有种号码
∴ 共需元
故选D
3. 解析：倾斜角大于，即或或斜率不存在或
（1）当时，有
（2）当时，有
（3）当斜率不存在时，即，有5条，综上，可得条，故选D
4. 解析：由题意得共有（个）
5. 解析：若选两女一男，则有种方法，若选两男一女，则有种方法，故共有种
6. 解析：由题意m取值1~10，n取值1~8。由两者取值范围的差异，可分两类：若x从9、10中取值，则有个 ，若x从1~8中取值，则有个，所以总共有。
7. 解析：甲工程队比较特殊，可以优先安排，则甲的安排方法有种，其他四个工程队没有特殊要求共有种。A选项只排了甲，未对其他四个工程队进行排列；C选项既未排甲也未对另外四个工程队进行排列；D选项未排甲，只对四个工程队进行了排列。
8. 解析：5人排5天每天一人，可分五步进行，故总数为（种）
二.
1. 解：出牌的方法可分为以下几类：
（1）5张牌全部分开出，有种方法
（2）2张2一起出，3张A一起出，有种方法
（3）2张2一起出，3张A分开出有种方法
（4）2张2一起出，3张A分两次出，有种方法
（5）2张2分开出，3张A一起出有种方法
（6）2张2分开出，3张A分两次出，有种方法
因此共有不同出牌方法（种）
2. 解：由图形特征分析：，开口向上，坐标原点在内部；，开口向下，原点在内部，所以对于抛物线来讲，原点在其内部，则确定抛物线时，可先定一正一负的和，再确定，故满足题设的抛物线共有（条）
3. 解：（1）若两个人都不参加演出，共有（种）
（2）若两个人都跳舞或者都唱歌，则不同的选法有（种）
（3）只有一个人参加跳舞的不同选法有（种）
（4）只有一个人参加唱歌的不同选法有（种）
（5）一个人参加跳舞，另一个人参加唱歌的不同选法有（种），故满足题设的不同选法共有（种）
4. 解：（1）① 首位是1， ② 首位是2，
∴ 第49个是30124
（2）① 万~1，个 ② 万~2，千~0，个
③ 万~2，千~1，个 ④ 万~2，千~3，百~0，个
⑤ 23104
∴ 23140为第41个数
