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六年级奥数全教程
第一章 数与计算
第一单元 同余问题
1． 知识前提。
（1） 整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。
（2） 乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即，记做。其中a叫做底，n叫做指数，读做a的n次方。
（3） 幂的运算法则：
① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即
。
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即
。
③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即
。
2． 同余
如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=?h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。
3． 规律、方法应用。
（1） 反身性规律：a和a对于m同余。
（2） 对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。
（3） 传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。
（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，ac和bd对于m同余。
（5） 同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么和也对于m同余。
（6） 同余的连加规律：和对于m同余，和对于m同余，和对于m同余……和对于m同余，那么和也对于m同余。
例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？
拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?
拓展二 自然数16520,14903,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?
拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?
例2．求除以7的余数。
拓展一 求除以13的余数。
拓展二 求除以11的余数。
拓展三 求的结果除以3的余数。
拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个试求A除以9的余数。
例3．被7除的余数是多少？
拓展一 除以13的余数是多少？
拓展二 今天是星期日，过天是星期几？
拓展三 求的末两位数是多少？
拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）
检测
1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（ ）
Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．２
２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( )
Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．17 Ｄ．18
3．除以13的余数是（ ）
Ａ．12 Ｂ．11 Ｃ．9 Ｄ．7
4．除以3所得的余数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．3
5． 今天是星期二，再过天是星期（ ）
Ａ．三 Ｂ．四 Ｃ．五 Ｄ．六
6． 的个位数字是（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．6
7． 的个位数字是（ ）
Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．6
8． 的个位数字是（ ）
Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．5
9． 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。
Ａ．17 Ｂ．198 Ｃ．34 Ｄ．51
10．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（ ）。
Ａ．345 Ｂ．121 Ｃ．150 Ｄ．267
11．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。
Ａ．157 Ｂ．253 Ｃ．942 Ｄ．471
12．用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。
Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
13．的积被7除的余数是（ ）。
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．5
二．解答题。
14．试证明：能被10整除。
15．求乘积除以13所得的余数。
16．今天是星期五，再过天是星期几？
17．求除以39所得的余数。
18．求的个位数字。
19．除以13余几？
20．试证明：是5的倍数。
21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？
22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二）
23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？
24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？
25．设A是一个有35位循环节的循环小数，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：再把的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：如此继续下去，能否仍得到原来的循环小数？
第二单元 分数的大小比较
比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：
1． 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。
2． 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。
3． 交叉相乘法。分数和，如果＞，那么＞。
4． 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。
5． 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。
6． 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。
解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。
例1 比较、、、这四个分数的大小。
拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。
，，，
拓展二 ，。试比较A和B的大小。
拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。
，，，，
拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。
、、、
例2 比较，，三个分数的大小。
拓展一 比较和的大小。
拓展二 比较和的大小。
拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。
，，，
例3 ，试比较A与0.003谁大谁小。
拓展一 如果，试比较A与的大小。
拓展二 用A表示下面的积：，问：A与0.01相比,谁大谁小?
拓展三 比较与0.001的大小.
检测
1． 在○中填入“＞”或“＜”。
（1）○ （2）○ （3）○○
（4）○ （5）○ （6）○○○
（7）○ （8）○ （9）○
（10）○ （11）○
2. 比较和的大小。
3. 把、、和按从小到大的顺序排列。
4. 在，，，，五个分数中，最大的分数是谁？
5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。
、、、、。
6. 比较和的大小。
7. 把、、、按从小到大的顺序排列。
8. 下面四个算式谁最大。
（1） （2）
（3） （3）
9. 下面两个算式谁大谁小？
；
10. 把下面五个分数从大到小排列。
、、、、。
11. 在、、、、中，哪个分数最大？
12. 比较、的大小。
13. 和，谁大谁小？
14. 按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。
15. 满足下面式子的最小是多少？
＞
16. 试比较和的大小。
17. 如果＜＜，那么□中应填哪个自然数？
18. 已知：，，
将A、B、C三个数从小到大排列。
19. 在下式中的□内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。
20. 下面给出6个分数算式：
，，，，，，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。
第三单元 速算与巧算
六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。
1．运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。
2．
3．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）将分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数和，然后分子、分母分别乘，再拆分，最后进行约分。
4. 等差数列求和法：（首项+末项）×项数和。
5. 约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。
例1． 计算
拓展一 计算
拓展二 计算
拓展三 计算
拓展四 计算
拓展五 计算
例2． 计算
拓展一 计算
拓展二 计算
拓展三 计算
例3． 计算
拓展一 计算
拓展二 计算
拓展三 计算
拓展四 计算
例4． 计算
拓展一 计算
拓展二 计算
拓展三 计算
拓展四 计算
计算下面各题：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.已知，
求
23.
24.
25.
26.
27.减去它的，再减去余下的，再减去又余下的，依此类推，一直减到最后余下的，最后得多少？
第二章 有关的分数应用题
第一单元 单位“1”的妙用
解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。
知识、规律、方法
在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，然后进行解答。
例1．甲、乙两数之和为180，甲数的等于乙数的，问甲、乙两数各是多少？
拓展一 甲、乙两数相差30，其中甲数的与乙数的相等，求这两个数的和是多少？
拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多1筐，其中苹果筐数的与橘子筐数的相同，上元水果店一共运来苹果和橘子多少筐？
拓展三 学校有皮球和足球共100个，皮球个数的比足球个数的多16个，学校有皮球和足球各多少个？
例2．某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的，
乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐
款多少元？
拓展一 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的，老三修了另外三人总数的，老四修了91米，问这条路全长多少米？
拓展二 把一堆皮球分装在四个盒子中，其中放入甲盒，放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的，丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？
拓展三 有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多少个？
例3．把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的，乙厂分得余下的，最后丙厂
分得吨，这批面粉重多少吨？
拓展一 某校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？
拓展二 有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。如果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？
拓展三 甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出8克糖放入乙容器中，搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒30千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为40%，乙容器中糖水的质量分数为20%，甲容器中应有糖多少克？
检测、反馈、应用
1．某车间男工人数比女工人数多，女工人数比男工人数少（ ）。
2. 菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，共收黄瓜（ ）千克。
3. 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的，第二天吃了余下的，第三天吃了余下的，这时还剩下15千克。食堂运来大米（ ）千克。、
4. 甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书，丙借走了加2本，再剩下的书，丁借走了加1本，最后甲还有2本书。甲原来有（ ）本书。
5. 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的（ ）
6. 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占50%，B堆中的黑子占75%，要从B堆中拿到A堆黑子多少个？白子多少个？
7. 甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨。当甲仓库的货物运走，乙仓库的货物运走以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？
8. 同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多8人。后来调走13个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的。参加这次春游活动的同学一共有多少人？
9. 某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是元、元、元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少元？
10. 电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加一半，收入增加，一张电影票原价多少元？
11. 王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少；若每小时少加工16个零件，则所用的时间比原来多小时。这批零件共有多少个？
12. 金放在水里称，重量减轻；银放在水里称，重量减轻。一块金银合金重770克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金银各多少克？
13. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70公里，求A、B两地相距多少公里？
14. 二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的75%，二班的少先队员占本班人数的，求两个班各有多少人？
15. 张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的12.5%，第二天比第一天多做了25%，第三天比第二天多做了8只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？
16. 兄弟三人，老大比老二的年龄大20%，老二比老三的年龄大20%，老大比老三的年龄在百分之几？
17. 某工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？
18. 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？
19. 某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元，如果不计损耗,商店要实现25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？
20. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆里的黑子数为全部黑子的，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？
21. 纸箱中有若干个乒乓球，其中是一级品，（为正整数）是二级品，其余的91个是三级品。共有多少个乒乓球？
第二单元 工程问题
工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。
1． 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
2． 涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。
3． 对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。
例1． 打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的，剩余的甲、乙共同打，还需几小时？
拓展一 一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲、乙两人各做了多少天？
拓展二 一件工作，若单独完成，甲需10小时，已需15小时，丙需20小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？
拓展三 有甲、乙两人合做一项工程，需天完成。若甲一人独做8天后，再由乙独做10天完工，问甲、乙单独做各需几天完工？
拓展四 一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？
例2． 修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750米处相遇，这段公路长多少米？
拓展一 甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的。已知乙每小时加工12个零件，甲单独加工完成这批零件要12小时，这批零件有多少个？
拓展二 有一批零件，甲单独做要用天，比乙单独做多用了天。现两人合作4天后，剩下210个零件由甲单独去做，自始至终甲共做了多少个零件？
拓展三 栽一批黄瓜，兄弟二人合栽8小时完成。现哥哥先栽了3小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽黄瓜多少棵？
例3． 一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？
拓展一 一项工程，甲单独做6小时完成，乙单独做10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？
拓展二 一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工程的一共要用多少小时？
拓展三 一件工程，甲、乙合作6天能完成。如果甲单独做，那么完成与乙完成所需的时间相等。若按甲、乙、甲、乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？
检测、反馈、应用
1． 老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？
2． 一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
3． 一项工作，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的。如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？
4． 抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的；如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？
5． 师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？
6． 一件工作，甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
7． 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问开始到完工共用了多少年来天时间？
8． 某工程由甲单独做63天可以完成，由乙单独做28天可完成。现在甲先单独 42天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？
9． 甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效
率比单独做时提高了。甲乙合作6小时，完成全部工程的，第二天乙又单独
做了6小时，还剩下这件工作的未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？
10．甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5天完成了，乙丙合修了2天完成余下的，然后甲丙合修了5天才完工，整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？
11．一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做要18天完成，丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？
12．一项工程，甲乙丙三人合作需13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲乙两人合作多做1天，这项工程由甲单独做需要多少天？
13．制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个，丙车间制作零件多少个？
14．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天。已知甲单独做完这件工作要13天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？
15．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时，要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？
第三单元 类比法解题
知识、规律、方法
在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：
钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。
还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。
例1． 某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？
拓展一 小明每天6点回家吃晚饭。一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？
拓展二 有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向中午12点整的时刻，实际时间是几点几分？
拓展三 某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。共损坏了多少只花瓶？
例2．张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买15本山水画或24本人物画。如果张老师买了8本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？
拓展一 一列快车由甲城开往乙城需要8小时，一列慢车由乙城开到甲城要用12小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行192千米，两城相距多少千米？
拓展二 大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印，求这个花圃的周长是多少米？
拓展三 我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的，1607年他完成了《原本》前6卷的翻译工作。1629年主持编写“新历法”，但未完成就去世了，1634年由李天经最后完成。1607年徐光启多大岁数？
检测、反馈、应用
1. 一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是5 ：6，原数是（ ）。
2. 时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（ ）分，两针正好重合？
3. 一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。这个三位数是（ ）。
4. 在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖者中有16人不是四年级的，有14人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（ ）。
5. 如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有（ ）条不同的线段。
6. 李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买15本语文书或24本数学书。如果李老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？
7. 甲、乙两人从两地出发，相向而行。甲走完全程需2小时，乙走完全程需3小时，两个相遇时甲比乙多走千米，求两地之间的距离。
8. 甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一倍；再从乙桶倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是48千克。问各桶原来分别盛油多少千克？
9. 在下列两组图形中，正方形的边长都是1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？
10. 把自然数中的偶数2、4、6、……像下表那样依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号。这样，数“1990”出现在第几列？
2 4 6 8
16 14 12 10
18 20 22 24
32 30 28 26
34 36 38 40
48 46 44 42
50 52 54 56
11. 把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是1分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。小正方体中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？
12. 计算
13. 一个圆柱体的侧面积是320平方厘米，圆柱的底面积半径是20厘米，求圆柱体体积。
14. 如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD和MNPQ，如果把A点放在MNPQ的中心，那么这两个正方形纸片的重叠部分的面积等于多少？
15. 一篮鸡蛋2个2个地数余1个，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，6个6个地数余5个。这篮鸡蛋最少有多少个？
16. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米。现在这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？
17. 50张卡片，写着1~50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面 来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？
第四单元 对应法解题
知识、规律、方法
对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。
1. 量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对应关系是解答分数应用题的关键。
（1） 求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量×分率=对应数量。
（2） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量÷对应分率=单位“1” 的量。
2. 对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。我们可以通过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。
例1． 王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的，第二天做了余下的，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？
拓展一 某小学学生中的是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？
拓展二 小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的多16页；第二天看的页数比总页数的少2页，还余下88页。这本书共有多少页？
拓展三 新生小学男生比全校学生总数的少25人，女生比全校学生总数的多15人，求全校总人数。
拓展四 部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的，第二次运来了50千克，这时，已运来的恰好是没运来的，还有多少千克苹果没有运来？
例2． 小明有5盒奶糖，小强有4盒水果糖，共值44元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？
拓展一 把105升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的，或可灌满乙容器及甲容器的。甲、乙两个容器的容量各是多少升？
拓展二 2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件。如果把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
拓展三 教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生人数是女生的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍，最初有多少名女生？
检测、反馈、应用
1. 两个仓库共储存粮食1024吨，甲仓存粮是乙仓存粮的3倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？
2. 张华看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的没有看，这本故事书一共有多少页？
3. 甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的还要多千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？
4. 有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红球和黄球各有多少个？
5. 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去了134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？
6. 甲筐的苹果比乙筐多30斤，丙筐的苹果是甲筐的2倍，丙筐比乙筐的3倍多10斤。三筐各有多少苹果？
7. 打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分5颗，还剩8颗；如每人分6颗则差4颗。这个班共有多少名战士？还有多少颗手榴弹？
8. 56名少先队员参加学校劳动，其中的打扫礼堂，剩下的队员中，的人打扫操场；第二次剩下的队员中，的人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？
9. 甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行。第一次两车在距B地64公里处相遇，相遇后仍以原速继续行驶，到达对方站后原路返回，两车在距离A地48公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？
10. 买5个排球和3个篮球需付100元，而买2个排球和3个蓝球只需会67元。问每只排球和篮球各多少元？
11. 妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子15千克，差4元，若买橘子20千克，则多20元。两种水果每千克的价格相差元。两种水果的单价分别是多少元？
12. 少先队员参加植树，准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，则多3棵，每人栽7棵苹果树苗，则少6棵，参加植树的少先队员有多少人？苹果树苗和梨树苗分别有多少棵？
13. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4：5：6。已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长50千米。此人走完全程用了多少时间？
第五单元 时钟问题
知识、规律、方法
钟表是我们日常生活中的计时工具，它除了告诉我们时间外，在钟面上还存在着许多数学问题。如分针和时针每隔多少时间重合一次，在一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次，当钟表比标准时间快或慢时会有什么样的规律。
在一个钟面上，由于时针12小时旋转一周，所以时针1小时旋转的圆心角度数是30度，1分钟旋转的圆心角度数为度。分针1小时旋转一周，也就是分针1分钟旋转的圆心角度数为6度。
钟面一周平均分为60格，相邻两格刻度之间的时间间隔为1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格，时针的速度是分针速度的。
例1． 现在是下午3点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？
拓展一 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
拓展二 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
拓展三 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
拓展四 9点过多少分时，时针与分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
例2． 小云晚上9点整将手表对准，可第二天早晨8点到校时，她以为准时到校，却迟到了10分钟。那么，小云的手表每小时慢几分钟？
拓展一 小明有一块手表，每分钟比标准时间快2秒钟。小明早晨8点整将手表对准，问当小明这块手表第一次指向12点时，标准时间此是是几点几分？
拓展二 有一只钟，每小时比标准时间慢1分。中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下午几时几分？
拓展三 星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？
拓展四 爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔66分重合一次，如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几时几分？
检测、反馈、应用
1. 从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合。
2. 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？
3. 有一只钟每小时慢3分钟，早上7点钟的时候，对准了标准时间，当慢钟的批针批向12点整的时候，标准时间是多少？
4. 在3点与4点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上，并且方向相反？
5. 星期天，小李在公园玩，他上午10点10分进去，下午3点50分出来，他在公园一共玩了多长时间？
6. 小玲家有一个闹钟，每小时比标准时间快2分钟。星期天上午9点整，小玲对准了闹钟，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭，那么小玲应将铃定在几点几分上？
7. 有一个时钟快20秒，它在3月1日中午12时准确指示时间，下一次准确指示时间是在什么时间？
8. 爷爷家的老式钟的时针与分针，每隔66分钟重合一次，这只时钟每昼夜慢多少分钟？
9. 张奶奶家的闹钟每小时快2分钟（准确的闹钟的分针每小时应走一圈，而这个闹钟的分针每小时走一圈多2格）。昨晚21：00，张奶奶把闹钟与北京时间对准了，同时把闹钟拨到今天早晨6：00闹铃，张奶奶听到闹铃声时比北京时间今天早晨6：00提前了几分钟？
10. 王宇家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点时，王宇对准了闹钟，他想在第二天早晨5点55分起床，于是他将闹钟的闹铃定在5点55分。问这个闹钟将在标准时间何时响铃？
11. 小张下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了，他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。8小时工作后夜里11点下班，小张回到家，一看钟才9点整。假如他上下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？
12. 某科学家设计了一个怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只怪钟显示6点75分时，实际上是什么时间？
13. 手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？
14. 高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正常，每个白天快分，每个夜晚慢分。如果在9月1日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？
15. 8点过多少分时，时针与分针离“8”的距离相等？
16. 一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时针、分针的位置交换了一下，这部动画片放映了多少时间？
第六单元 倒推法解题
知识、规律、方法
有些应用题告诉我们事情的发生、发展和结果，解这类应用题如果从已知条件出发，顺着考虑下去，可能因误入歧路而陷入解题困境。这时不妨把思考方向改变一下，倒过来想想，可能会“柳暗花明又一村”。从后往前一步步倒着推算，这种思考方法叫还原法。
能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：
1． 已知最后的结果；
2． 已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；
3． 求知的数量是最初的数据。
例1． 华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台。华球商店原有洗衣机多少台？
拓展一 某人去取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，他原有存款多少元？
拓展二 小明有钱若干元，第一次用去后，又得到240元，第二次用去这时所有钱的后，还剩下720元。问第一次用去多少元？
拓展三 3只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮子里原有桃子多少只？
拓展四 甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，这时他们各有240元，两人原来各有多少元？
例2． 甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？
拓展一 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油各增加一倍；最后以同样的方式把丙桶的油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。三个油桶原来各盛油多少千克？
拓展二 甲、乙、丙三人各有若干本书。甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人；最后丙也照这样送给甲、乙两人。结果甲有书48本，是丙的书本数的，乙的书本数是丙的书本数的，甲、乙、丙三人原来各有书多少本？
拓展三 甲、乙、丙、丁各有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这样方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚，原来四人各有多少枚棋子？
检测、反馈、应用
一、选择题
1. 货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果还剩600吨。货场原存煤 吨。
A．850 B．760 C．1700 D．1800
2. 小丽从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃余下的一半又半个，恰好吃完。小丽从家带了 个鸡蛋。
A．10 B．7 C．13 D．9
3. 仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的又吨，第二次运走了余下的又吨，第三次运走了第二次余下的又吨，第四次运走了第三次余下的又是吨，第五次运走了最后剩下的19吨。这个仓库原来共有水泥 吨。
A．99 B．78 C．56 D．135
4. 甲、乙、丙三个朋友按下列方法分配苹果：甲得到了全部的又8个，乙取了所剩的又8个，丙取了最后余下的和所剩下的8个。甲小朋友得苹果 个。
A．24 B．27 C．25 D．28
5. 一辆拖拉机耕一块地，第一小时耕了整块的又公亩，第二小时耕了余下的又公亩，还剩230公亩没有耕。这块地原来有 公亩。
A．307 B． C． D．460
6. 一堆西瓜，第一次卖出总个数的又6个，第二次又卖出余下的又4个，第三次又卖出余下的又3个，正好卖完，这椎西瓜原有（ ）个。
A．27 B．28 C．29 D．30
7. 有一堆棋子（棋子数大于1），把它四等分后剩一枚，拿去三份又一枚。将剩下的棋子再四等分后还是剩下一枚，再拿走三份又一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚，原来至少有（ ）枚棋子。
A．37 B．43 C．69 D．85
二、解答题
8. 把180个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班的小朋友。如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数相等。这四个班各应分多少个？
9. 有一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙取了余下的一半又1个，这时筐里只剩1个梨。这筐梨共值4.40元,问每个梨值多少钱?
10. 工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩下的一半又半吨，正好用完。这两车水泥共有多少吨？
11. 两棵树上共有麻雀25只，第一棵树上的麻雀飞到第二棵树上5只，又从第二棵树上飞走了7只，这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2倍，问原来每棵树上的麻雀各有几只？
12. 甲、乙各有若干元，甲拿出给乙后，乙拿出给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少元？
13. 一堆西瓜第一次卖出总数的还多4个，第二次卖出剩下的还多3个，第三次卖出剩下的还多3个，第四次卖出剩下的少1个半，还剩12个。这堆西瓜原有多少个？
14. 仓库中有水泥若干袋。第一次运出全部水泥的，第二次运进400袋，第三次又运出现有水泥的又40袋，结果仓库里还剩下水泥800袋。仓库里原来有水泥多少袋？
15. 老奶奶卖西瓜，第一次卖出了全部的一半又半个，第二次卖出了余下的一半又半个，第三次卖出了第二次余下的一半又半个，第四次卖出了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，老奶奶原来有多少个西瓜？
16. 54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张就输。问先拿牌的人怎样拿才能保证获胜？
17. 有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生，最初甲得最多，乙得较少，两得最少。后重新分配，第一次甲分给乙、丙各自所有的铅笔数再多4支；第二次乙分给甲、丙各自所有的铅笔数再多4支；第三次丙分给甲、乙各自所有的铅笔数再多4支，此时甲、乙、丙三个学生各得铅笔44支。最初这三个学生各有铅笔多少支？
18. 红星小学为山区学校捐图书，按计划把这批书的又6本送给李村小学，把余下的一部分送给王村小学，送给王村小学的比送给李村小学的3倍还多136本，又把第二次余下的75%又80本送给张村小学，最后剩下300本，作为数学竞赛的奖品，红星小学一共捐献了多少本图书？
第七单元 列举法解题
知识、规律、方法
当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。
范例、解析、拓展
例1 李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100的卡片。如果每次取出4张计算它们 的和，那么共有多少种不同的和？
拓展一 用0，4，5，9可以组成多少个能被5整除的四位数？
拓展二 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个不同的最简真分数？
拓展三 有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？
拓展四 参加“洽谈会”的客人见面问候，在6位客人中，不重复地握手13次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？
例2．玲玲买了三种练习本：自然本每本8分钱，语文本每本1角钱，数学本每本2角钱。她一共用了一元二角二分钱。那玲玲买的三种本子的总和最少是多少？
拓展一 某次数学竞赛共有10道题，评分办法是：答对一道题得3分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加竞赛的学生中至少有3个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？
拓展二 我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来减去我家门牌号数的2倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？
拓展三 甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数是多少？
检测、反馈、应用
一．选择题
1. 新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手 次。
A．9 B．20 C．30 D．45
2. 从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地可有 种走法。
A．9 B．15 C．12 D．16
3. 一个工人将子弹装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果子弹一共99颗，盒子数大于10。问大盒子有 个，小盒子有 个。
A．11，13 B．2，20 C．2，30 D．2，15
4. 观察前四个数，写出最后一个数：2，7，22，67，（ ）
A．89 B．202 C．104 D．124
5. 从1993这个数里，第一次减去它的二分之一，第二次减去剩下的三分之一，第三次再减去剩下的四分之一，依此类推，一直到最后减去剩下的一九九三分之一，那么最后剩下的数是 。
A．2 B．1 C．3 D．4
6. 某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票，他一共收集了 张。
A．60 B．110 C．95 D．55
7. 有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有 种取法。
A．7 B．11 C．20 D．14
8. 用1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成 个奇数。
A．8 B．10 C．12 D．14
9. 下图中有 个三角形。 条线段。
A．3，5 B．6，10 C．7，7 D．8，12
二、解答题
10. 两个人的年龄和是36岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？
11. 现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出20克重的物体。（1）在取出的砝码中有3个1克的，那么3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个）
12. 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最少，因此重新分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4支；第三次分配，丙分别给甲、乙原有支数多4支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44支，最初甲得几支？
13. 有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有多少种分法？
14. 小刚和小李玩掷骰子游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点数和为8，则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？
15. 一只甲虫从A点出发（如下图），要沿着某几条线段从A点爬到F点。在行进中，同一个点或同一条线段只能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？
16. 新任宿舍管理员拿了20把钥匙去开20个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪一个房门，现在要打开所有关闭的20个房门，那么他至少要试开多少次？
17. 小丽爱吃青菜、菠菜、丝瓜三种蔬菜，她准备每天吃一种，且相邻两天不能吃同一种蔬菜。如果小丽第一天吃青菜，第五天也吃青菜，那么，这五天中她共有多少种不同的安排？
18. 从1~100的自然数中，每次取两个不同的自然数相加，使其和大于100。共有多少种不同的取法？
19. 奶奶有2元、1元、5角、2角、1角的钱各3张，到百货商店买4元9角的东西，怎样拿可以正好把钱交上，不用找钱，一共有几种拿法？
20. 甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有多少种可能发生的情况？
21. 下面四个图形都具有两个特点：（1）由四个连在一起同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同，那么这两个俄罗斯方块只能算一种，除了下面三种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。
第八单元 利润和折扣
知识、规律、方法
利润和折扣是常见的一类百分数应用题。通常把一种商品的售价与成本价（或进货价）之间的差称为利润。例如某商品的进货价（也叫买入价、成本价）是100元，以130元售出，获得利润（元），利润÷成本=利润率。如上题中的利润率为30÷100=30%，也可以直接说利润为30%，也可以直接说利润为30%，利润通常用百分数表示。
商品减价出售时，通常叫打折出售或打折扣出售。几折就是现价是原价的百分之几十。如一台彩电打八五折出售，也就是按原价的85%出售。
有关利润和折扣，要重点理解、掌握以下几个数量关系。
1．售出价-进货价=利润率
利润÷成本（进货价）=利润率
2． 卖出价=成本×（1+利润率），成本=卖出价÷（1+利润率）
3． 商品的定价一般按照期望的利润率来确定：
定价=成本×（1+期望的利润率）
4． 现价=原价×折扣数
例1． 某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分数是多少？
拓展一 商店以每双元购进一批凉鞋，售价为元。卖到还剩5双时，除成本外还获利45元。这批凉鞋共有多少双？
拓展二 某商品按20%的利润定价，然后又按定价的80%出售，结果每件亏损64元。这一商品的成本是多少？
拓展三 一件商品按20%的利润定价，然后按八八折出售，共得利润84元，这件商品的成本是多少元？
拓展四 某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
例2． 某商品按定价卖出可获利润960元，现在按定价的80%出售，则亏损832元。该商品的购入价是多少元？
拓展一 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店便宜10%。甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元。问甲店的进货价是多少元？
拓展二 甲、乙两种商品成本共250元，商品甲按30%的利润来定价，商品乙按20%的利润来定价。后来应顾客要求，两种商品按定价9折出售，仍获利33.5元，问甲商品的成本是多少元？
拓展三 新华书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、乙两种书，其中“乙种书的册数是甲种书的”，只有甲种书得到了90%的优惠，这时，购买甲种书所付总款数是购买乙种书所付总款数的2倍，已知乙种书每本的价格是1.5元，那么甲种书每本多少元？
检测、反馈、应用
1. 一种商品，进货价400元，售价500元。这种商品所获得的利润占成本的（ ）
2. 商店出售一种电视，原价2500元，后来打八五折出售。这种电视现在的价钱是（ ）。
3. 商店每卖出一本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率为（ ）。
4. 一部手机的售价是1800元，这部手机售出后可获20%的利润，这部手机的进货价为（ ）。
5. 一件上衣进价为240元，售出时按15%的利润来定价，这件上衣的售出价是（ ）。
6. 有甲、乙两家商店，如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少10%，那么这两店的利润就相同。原来甲店的利润是原来乙店利润的（ ）%。
7. 某商店有两件商品，其中一件商品按成本增加25%出售，一件商店按成本减少20%出售，售价恰好相同，那么，。
二、解决问题
8. 商品甲按20%的利润卖出，卖出价是240元，商品乙按10%的亏损卖出，卖出价是270元，甲和乙两件商品的成本谁多？多百分之几？
9. 商品甲的定价中含30%的利润，商品乙的定价中含40%的利润。甲、乙两种商品的定价相加是470元，甲的定价比乙的定价多50元。甲、乙两种商品的成本名是多少元？
10. 一批商品按50%的期望利润率定价，结果只卖了70%的商品。为尽快卖完剩下的商品，商品决定按定价打折出售，这样所获的全部利润是原来期望获得利润的82%，问商品打了几折出售？
11. 某种蜜瓜从出售之日起，每天比前一天降价20%。小明在出售的第二天买了3千克，在出售的第三天又买了5千克，两次共花了42元，蜜瓜出售的当天售价是多少元？如果这8千克蜜瓜在第四天只要多少元？
12. 有一种商品，甲店进货价比乙店便宜10%，甲店按10%的利润来定价，乙店按20%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的定价便宜21元。问甲店的进货价是多少元？
13. 某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品，二级品的进价比一级品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按20%的利润来定价，二级品按15%的利润来定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元。一级品篮球的进价是多少？
14. 文体商店用2400元进了一批蓝球和足球，篮球比足球多15个，商店出售足球的定价是20元，篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获利820元。足球和篮球各有多少个？
15. 某商场在迎亚运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可盈利215元；如果打八折出售，则亏损125元。问此类商品的购入价是多少元？
16. 某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。现在按定价的八五折出售8个所获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所获得的利润一样多。这一商品每个定价是多少元？
17. 黄先生向商店订购每件定价为100元的某种商品80件。黄先生对商店经理说：“如果你肯降价5%，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若降价5%，则由于黄先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问这种商品的成本是多少元？
18. 儿童出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但仍保持原价。因此每本盈利下降了40%，但今年的发行量比去年增加8%，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加了百分之几？
19. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售。两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够再购进这种时装10套（进价不变），甲原来购进这种时装多少套？
第九单元 浓度问题
知识、规律、方法
一杯糖水中有多少糖，可以用百分比来衡量。糖水的浓度是由糖和水的比值来决定的。我们把糖与糖水的百分比叫做糖水的浓度。同样，盐与盐水的百分比叫盐水的浓度。纯酒精与酒精溶液的百分比称为酒精浓度，药与药水的百分比叫药水的浓度。对这些数学问题，我们统称为浓度问题。
在浓度问题中，通常把糖、盐、纯洒精、药称为溶质（即被溶解的物质）；把溶解这些溶质的液体称为溶剂，如水、汽油等；溶质与溶剂混合的液体称为溶液，如糖水、盐水、洒精溶液等。要解决浓度问题，就要理解并掌握下面几个关系式：
溶质+溶剂=溶液
1． ×100%=浓度
2． 溶液×浓度=溶质
范例、解析、拓展
例1． 将20克糖放入白开水中制成糖水，这种糖水浓度为10%，需白开水多少克？
拓展一 在浓度为10%的80克盐水中，加入多少克水可得到浓度为8%的盐水？
拓展二 一种浓度为35%的新农药，如稀释到浓度为1.75%时治蚜虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水才能配成浓度为1.75%的农药800千克？
拓展三 现有浓度为20%的糖水300克，要变成浓度为40%的糖水，需加糖多少克？
例2． 将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克。需20%的盐水和5%的盐水各多少克？
拓展一 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克，混合后所得的酒精浓度为多少？
拓展二现有含盐20%的盐水500克，要把它变成含15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？
拓展三 130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%盐水，这样配成的6.4%的盐水是多少克？
拓展四 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使洒精与水
混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含
量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升？
例3． 甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？
拓展一 A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度为0.5%。最早倒入A中的盐水浓度为多少？
拓展二 有三根管子A、B、C，A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水，C管以每秒10克的流量流出水，C管打开后开始2秒不流，接着流5秒；然后又停2秒，再流5秒……三管同时打开，1分钟后都关上，这时得到的混合液中含盐百分之几？
检测、反馈、应用
一、 填空
1. 一瓶盐水共重200克，含盐20克，这瓶盐水浓度为（ ）。
2. 将10克盐放入40克水中制成盐水，这种盐水浓度为（ ）。
3. 在1000千克15%的药水中，含纯药（ ）千克，含水（ ）千克。
4. 要配制一种糖水浓度为10%，12克糖需加水（ ）克；有180克水需加糖（ ）克。
5. 现有浓度为20%的糖水300克，要配成浓度为40%的糖水，需加糖（ ）克。
6. 有浓度为8%的盐水200克，需稀释成浓度为5%的盐水，需加清水（ ）克。
7. 一种含药量为35%的灭蚊剂，如稀释到含量为1.75%灭蚊最有效。用（ ）千克含药量为35%的农药兑（ ）千克水才能配成含药量为1.75%的药水800千克。
8. 把25克盐水放进100克水里制成盐水，有200克这样的盐水，里面含盐（ ）克。
二、应用题
9. 有浓度2.5%的盐水200克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少千克？
10. 10000千克葡萄干在新疆测得含水99%，运抵南京后测得含水98%，问葡萄干运抵南京后还剩下多少千克？
11. 在浓度为50%的100千克硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？
12. 有两个装满糖水的桶，大桶内装有含糖4%的糖水60千克，小桶内装满含糖20%的糖水40千克，各取出多少千克分别放入对方桶内，才能使它们的浓度相等？
13. 甲容器中有浓度4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。求乙容器盐水的浓度。
14. 浓度为20%、18%、16%的3种盐水混合后得到100克18.8%的盐水。如果18%的盐水比16%的盐水多30克，3种盐水各多少克？
15. 已知盐水若干克，第1次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变以2%。第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？
16. 在装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满；搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
17. 有甲、乙两个瓶子，甲瓶中装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶。问此时甲瓶中含酒精多，还是乙瓶中含水多？
18. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精含量分别占48%、62.5%和。已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量。三缸溶液混合，所含酒精的百分数将达到56%。那么，丙缸中纯洒精的量是多少千克？
19. 下图中（a）、（b）、（c）、（d）为水槽，而A、B、C、D、E、F、G、H为能进行开、关的水管，在图中还注明了关于各个管分流的比例。首先将水管C、D、E、F、G、H关闭，分别由A流出质量分数为10%的盐水200克，由B流出质量分数为5%的盐水800克，接着关闭A、B水管，打开C、D、E、F、G、H水管。在水槽（d）中积存的盐水为多少克？其中含盐多少克？
第三章 几何知识的有关问题
第一单元 与圆的周长有关的计算
知识、规律、方法
围成一个图形的所有边的长度总和就是这个图形的周长。在实际生活中经常遇到与圆的周长有关的计算。计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。具体要掌握下面几个关系：
1． 同一圆中直径和半径的关系：或。
2． 圆的周长是直径的（）倍，是半径的2倍，所以或。
3． 扇形：是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是度，那么当圆周长时，扇形的弧长计算方法：。
范例、解析、拓展
例1． 如右图，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比较，哪一个长？
拓展一 如图，从点A到点B，沿着大圆走和沿着中、小圆的圆周走的路程相同吗？
拓展二 一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切，已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和。
拓展三 如下图，其阴影部分的周长是多少厘米？
例2． 一个半圆的直径为10厘米，它的周长是多少厘米？
拓展一 一个半圆的周长是厘米，这个半圆的直径是多少厘米？
拓展二 某运动场的200米跑道如图（1）所示，弯道为半圆形，跑道宽为米。两名运动员沿各自跑道赛跑一周，
为使二人所跑距离相等，应让外跑道的运动员前移多少米？（得数保留两位小数）
拓展三 如左下图，在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长。
例3． 将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。
拓展一 直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图。试求金属带的长度。
拓展二 求下图阴影部分的周长。（单位：厘米）
拓展三 如下图，圆的周长是厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？
检测、反馈、应用
一、 填空
1. 用圆规画一个周长厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（ ）厘米。
2. 半圆形花坛的半径用字母表示，它的周长是（ ）厘米。
3. 一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（ ）倍。
4. 半圆的周长是厘米（取），它的半径是（ ）厘米。
5. 汽车车轮的半径是米，如果车轮每分钟转200转，要行驶千米的路程，需要（ ）分钟。
6. ，已知厘米，图中各圆的周长总和是（ ）。
7. 如图，阴影部分周长最长的是（ ）。（正方形的边长相等）
二、 解答应用题
1. 求阴影部分周长（单位：厘米）。
2. 一个街心花园如图形状，中间正方形的边长为20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长为多少米？
3. 以B、C为圆的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分周长。
4. 如图：正方形ABCD的边长是1厘米，求阴影部分的周长。
5. 有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结用的绳长不计）
6. 下图中，直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。
7. 等边三角形的边长为3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚三次（如图），求A点经过的路线长。
8. 有8个半径为2厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中正方形的边的交点为这些圆的圆心，那么这一个花瓣图形的周长是多少厘米？
9. 如图，一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米、3厘米的长方形Ⅰ，它的对角线恰好是5厘米，让这个长方形顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，连续做三次。A次到达E点的位置，求A点走过的路程长。
10. 如图，每个小圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长。
11. 求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）
第二单元 与圆的面积有关的计算
知识、规律、方法
本单元主要讲解与圆面积有关的组合图形面积的问题。在进行组合图形的面积计算时，必顺掌握有关的概念、公式，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由哪几个基本图形组成的，要注意找出图中的隐蔽条件与已知条件和问题的联系。
计算组合图形的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添上辅助线，化难为易，从而找出解答的方法。
1. 圆面积的计算公式：
2. 扇形面积的计算：（为扇形圆心角的度数）。
范例、解析、拓展
例1． 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展一计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展二求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展三如图，已知扇形的面积是平方厘米，求图中阴影部分的面积。
例2． 一个直径为3厘米的半圆，让A点不动，把整个半圆顺时针旋转60°，此时点B移到点处（如图）。求图中阴影部分的面积。
拓展一 图中三角形ABC是直角三角形，阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积小23平方米。问BC的长度是多少米？（ 取3）
拓展二 求下图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展三 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展四 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
拓展五 如左下图,∠1=15°的圆周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米?
检测、反馈、应用
1. 求左下图中阴影部分面积。（单位：厘米）
2. 右上图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积是多少。
3. 已知图中两个正方形的边长分别为1厘米和2厘米，求阴影部分的面积。
4. 正方形面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积。
5. 计算阴影部分的面积。（单位：厘米）
6. 求阴影部分的面积。（单位：厘米）
7. 求阴影部分面积。（单位：分米）
8. 长方形ABCD中长AD是10厘米，E为BC的中点，求阴影部分的面积。
9. 如图，实线部分的周长为厘米，其中厘米。求阴影部分的面积。
10. 求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
11. 如图，四个半圆形纸片叠放在桌上成了一个正方形。求重叠部分（阴影部分）的面积。（单位：厘米）
12. 计算阴影部分的面积。（单位：厘米）
13. 下图中，为圆心，垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分的面积。
14. 如下图所示，四个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。
15. 如下图（单位：厘米），在长方形ABCD中，AD=DE=3厘米，AE=AB。求阴影部分的面积。
16. 下图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，求阴影部分面积。（单位：厘米）
17. 下图中三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分面积。
18. 如图，半圆的面积是14.13平方厘米，圆的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
第三单元 表面积的计算
知识、规律、方法
表面积是指物体各个面的面积总和。在计算表面积时，要注意根据实际情况，弄清究竟求哪几个面的面积，再正确解答。
具体用到的形体有长方形、正方形和圆柱体。
1． 长方体的表面积=（长×宽﹢宽×高+长×高）×2。
2． 正方体的表面积=棱长×棱长×6。
3． 圆柱体的面积=侧面积+底面积×2。
在计算时，要从实际出发，有的只有一个底，有的没有底；有的只算两个面，有的要算四个面等等。
范例、解析、拓展
例1． 把一张长方形铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮油桶，求所制成的油桶的表面积。（单位：厘米）
拓展一、把一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体。求这个圆柱体的表面积。（圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）（单位：分米）
拓展二、下图（1）是一个立体图形（2）的侧面展开图（单位：厘米），求这个立体图形的表面积。
拓展三、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是多少平方厘米？
例2． 把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块（如图）。已知圆柱的底面直径为10厘米，高15厘米，求半个圆柱体的表面积。
拓展一、下图是个柱体，高30厘米，底面是一个半径为10厘米、圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积。
拓展二、一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？
拓展三、有一个棱长为4厘米的正方体，从它的右上方截去一个棱长分别为4厘米、2厘米和1厘米的长方体，求剩下部分的表面积。
拓展四、一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下的部分的表面积最小是多少？
例3． 如图，在底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底，挖出一个最大的圆柱形，然后在剩下的铸铁表面上涂上油漆，求涂漆的面积是多少？
拓展一、从图纸上剪下半径为30厘米的扇形，做一个圆锥。圆锥的底面直径为20厘米，求圆锥的表面积。
拓展二、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱。在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
拓展三、如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？
拓展四、在一个立方体的前后，左右侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞（如图），已知立方体边长为10厘米，前后、左右侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求所剩下物体的表面积。
检测、反馈、应用
1． 一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米。求这个圆柱的表面积。
2． 在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如左下图），求剩下立体图形的表面积。
3． 高都是1米，底面半径分别是0.5米、1米和1.5米的三个圆柱组成的几何体如右上图，求这个物体的表面积。
4． 有一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱体，沿着上下底面圆心的连线切开，它的表面积增加了多少平方厘米？
5． 如图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。
6． 一个圆柱体的侧面积是50.24平方厘米，高和底面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少？
7． 一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？
8． 把一个正方体制成一个体积最大的圆柱体。如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。
9． 如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形小孔，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
10．在一个棱长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱。求挖去后物体的表面积。
11．把一个横切截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积为32.97平方厘米,底面直径与高的比为1：3，求原长方体的表面积是多少平方厘米？
12．求下图物体的表面积。（单位：厘米）
13．有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的内外表面积的总和。
14．用6块长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？
15．用铁皮做一个如下图的零件，需用铁皮多少平方厘米？（零件是中空的）。
第四单元 圆柱与圆锥的体积
知识、规律、方法
一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆柱，或者说它是由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。
如果用表示底面圆的半径，表示高，那么圆柱的体积公式为：。
一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆锥。
如果用表示底面圆的半径，表示高，那么圆锥的体积公式：。
在实际应用中，底面积或高有时是隐含着的，要先通过分析推理得出之后，再来求体积。有些体积没变，但形状变了，要巧秒地利用等积变形的特征，抓住形体的特征进行计算。
范例、解析、拓展
例1、 如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分恰好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。
拓展一、一个圆柱的高10分米，它的侧面展开，得到一个长25.12分米的长方形。这个油桶能装油多少升？
拓展二、从半径为10厘米的圆柱形钢材上截下一段，锻造成长为40厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，应截圆钢长多少厘米？
拓展三、在一个高为8厘米、容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满了水。现把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿起后，A中的水高度为6厘米，求圆柱体B的体积。
拓展四、某工厂原来用长4米、宽1米的铁皮（如图a）围成没有底和顶的正方体形状的产品存放处(底和顶用别的材料)(如图b),恰好够存一周的产品,现在产量增加了27%，能够还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品吗？
拓展五、一个圆柱体的高是10厘米（如图），若减少3厘米，则表面积比原来减少94.2平方厘米，原来圆柱体的体积是多少平方厘米？
例2、 一张扇形薄铁皮，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。
拓展一、如下图（1），圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？
拓展二、把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40立方厘米，问原来圆柱的体积是多少？
拓展三、在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如下图），经测量底面弧长2.4米，圆锥高为1.57米。已知稻谷每立方米重725千克，求这堆稻谷重多少千克？
拓展四、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是30立方厘米。求圆锥的体积是多少平方厘米？
检测、反馈、应用
一、 填空
1． 一个圆柱侧面积为62.8平方厘米，高5厘米，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
2． 一个圆柱的底面周长25.12厘米，高和直径相等，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
3． 把两个底面积相等，长分别是10厘米和20厘米的圆柱体木料胶合成一根后，表面积减少25.12平方厘米，则胶合后的圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
4． 把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积为（ ）平方厘米；如果削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（ ）立方厘米。
5． 一个圆柱体的高为31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
6． 一根圆柱形木料长2米，把它截成了相等的3段后，表面积增加了16平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
7． 有甲、乙两个容器（如图，单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器。乙容器中水深（ ）厘米。
二、应用题
8． 一个底面积是314平方米的圆柱形蓄水池，能容纳水1884立方米，如果再挖深1.5米，可容水多少立方米？
9． 一个长方形竖着一条长为轴旋转一周，求所形成的物体的体积（如图1）；一个三角形以横着的一条短直角边为轴旋转一周（如图2），求所形成的立体图形的体积。（单位：分米）
10．试求下图钢材的体积。（单位：厘米）
11．一个圆柱的表面积是150.72平方厘米，底面半径是2厘米，求它的体积。
12．把一个棱长是2分米的正方体木块削成一个体积最大的圆柱体，应削去多少立方分米的体积？
13．如左下图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径12厘米、高10厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？
14．有一饮料瓶的身如右上图所示,容积是3立方分米。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少立方分米？
15．一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米，那么这时桶里的水面就下降4厘米，问这段圆钢的体积是多少？
16．一个圆柱体木块切成四块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少多少立方厘米？
17．有A、B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升的水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，求A的底面直径是多少厘米？
18．一个圆柱形水桶的侧面积是它的一个底面积的6倍，已知水桶的底面半径是1分米，这个水桶的容积是多少立方分米？
第五单元 几何知识与运动问题
知识、规律、方法
有些几何知识的应用题与运动有关，如在环形跑道中运动，与圆形有关；如果是两个物体在环形跑道上运动，那就与相遇问题、追及问题有关。通常求几何图形的面积与周长都是静态，但也有些是运动着的。解决这类与运动有关的几何问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线（或范围），这样才能找到正确的解题途径。
范例、解析、拓展
例1 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D离B点60米，求这个圆的直径。
拓展一 在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5米，乙每秒4米，每人跑100米都要停留10秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？
拓展二 小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次机遇，甲、乙两地相距多远？
例2 ABCD是一个正方形，边为1米，用一绳子从A点开始正好绕了一圈。从A点开始，固定B点，绳子扫过面为扇形ABE；再固定C点，绳子扫过面为扇形ECF；再固定D点，绳子扫过扇形FDG；最后固定A点，绳子扫过扇形GAH。求绳子扫过的总面积是多少？
拓展一 一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如下图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。
拓展二 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。在三条边上每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米（如图）。它爬行一周的平均速度是多少？
例3 下图是边长为10分米的正方形，内侧有一个半径为20厘米的圆形沿着边长滚动一周，圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆（圆心）所经过的总路程是多少厘米？
拓展一 如图所示，一个半径为1厘米的圆绕着一个直角三角形(各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米)滚动一周，求这个圆（圆心）所经过的路程。
拓展二 如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从平面1的位置沿线段AB、BC、CD滚到2的位置，如果AB、BC、CD的长都是20厘米。那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米？
检测、反馈、应用
1． 如图三角形ABC是直角三角形，直角边AC=6厘米，BC=2厘米，以BC为轴将三角形旋转一周得一圆锥，求该圆锥的体积。
2． 如右上图，一个圆的周长为70厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时出发，同向爬行。甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问乙原来的爬行速度是多少？
3． 图中是甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转7圈，丙齿轮转两圈。那么这三个齿轮的齿数最少应分别是多少个？
4． 三角形的每边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚763次（如图所示翻滚一次），求A点所经过的总路程。
5． 两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50圈，另一个转了40圈，如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，这段距离是多少米？
6． 甲、乙两人在（如图所示）圆环跑道上（两端是半径相同的半圆），同时从某出发点沿相反方向跑步，甲速度是乙的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间路程为100米，环形跑道有什么米？
7． 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的长方形羊圈（如右上图所示），在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊的活动范围有多大？
8． 如左下图半径1厘米的圆，绕直角梯形不滑动地滚动一周，求圆心所经过的总路程是多少？（其中AD=5厘米，BC=8厘米，AB=6厘米，CD=8厘米）。
9． 右上图中正方形的周长是圆环周长的3倍，当圆环绕正方形无滑动滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几周？
10．如图，有一只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为600厘米的等边三角形，绳长为8米，求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总面积。
11．一块边长为4米的正方形草地，两对角处各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长都是4米，问两只羊都能吃到的草地面积是多少？
12．右图是一个边长100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米。两人第一次在CD边（不包括C、D两点）相遇，是出发后的第几次相遇？
13．如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
14．右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B同时爬行，甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米，两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？
第四章 代数问题
第一单元 列方程解应用题
知识、规律、方法
有些比较复杂的应用题，由于受算术方法解题思路的限制不易解答，而用设求知数列方程的方法来解就显得比较简单。
在列方程解应用题时，是把已知量和未知量统一考虑，分析其数量关系，在一个相等的式子中，把它们表示出来，构成一个方程。
找数量关系，有的是利用条件中的相等关系，有的是利用周长和面积的计算公式，有的是根据加、减、乘、除各部分之间的关系，我们只要先假设一个未知数，然后再根据等量关系来列方程。列方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。
1． 审：指的是审题，要弄清问题中的已知量和未知量各是什么，问题中有什么样的等量关系。
2． 设：指的是选一个未知数设为，一般采用“直接设元法”，即题中问什么就设什么为，特殊情况下采用“间接设元法”。如已知时间的前提下，求路程，可不设路程，而设速度，求出速度后，再根据路程=速度×时间，就能求出路程了。
3． 列：指的是列代数式和列方程。要根据题目的条件，利用等量关系列出含未知数的等式——方程。
4． 解：求出所列方程的解。
5． 验：指检验和判断方程的解是否符合题意。
6． 答：指最后回答题目的问题。
范例、解析、拓展
例1 30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各有多少枚？
拓展一 汽车从甲地开往乙地，去时每小时行60千米，返回时每小时行50千米，来回途中共用了11小时。求甲、乙两地相距多少千米？
拓展二 现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的。哥哥现在多少岁？
拓展三 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁。经过几岁后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和？
拓展四 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地，丙从B地同时出发，丙遇到乙后2分钟遇到甲，求A、B两地间的距离。
例2 甲、乙两人原有钱数之比为6：5，后来甲又得了180元，乙又得了30元，这时甲、乙钱数之比为18：11。问原来两人钱数之和为多少？
拓展一 一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半，这条大鲨鱼全长多少米？
拓展二 第一个正方形的边长比第二个正方形的边长的2倍多1厘米，而它们的周长相差24厘米，求这两个正方形的面积。
拓展三 甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器中有浓度为10%的盐水600克，分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲容器中取出的盐水倒入乙容器，从乙容器中取出的盐水倒入甲容器，现在甲、乙容器中盐水浓度相同，则从甲、乙容器中各取出多少克盐水倒入另一个容器？
拓展四 一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米，在下坡路上行驶的速度是每小时50千米，在平路上行驶的速度是每小时45千米。某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了的时间走上坡路，然后用了的时间走下坡路，最后用了的时间走平路，已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟，甲、乙两地相距多少千米？
例3 如图，三角形面积为12平方厘米，求阴影部分的面积是多少？
拓展一 图中阴影部分面积为25平方厘米，求圆环的面积。
拓展二 把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2厘米，得到一个长方形。这个长方形面积与原来的正方形面积相等，求原来正方形的面积。
拓展三 一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍后，可装水40千克，那么，原来的水桶可装水多少千克？
检测、反馈、应用
1． 在一个停车场上，现有24辆车。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？
2． 有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米。把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的，问剪下的一段有多长？
3． 小木、小林、小森三人去看电影，如果小木带的钱买三张电影票，还差元；小林带的钱买三张电影票，还差元；三个人带去的钱买三张电影票还多了。已知小森带了元，那么买一张电影票要多少钱？
4． 用一队上车运一批货物，若每辆上车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装了3吨货物就装完了这批货物。那么，这批货物共有多少吨？
5． 梨子、苹果、橘子、柿子，共有100个。如果梨子个数加4，苹果个数减4，橘子个数乘以4，柿子个数除以4，所得的个数相等，问四种水果各有多少个？
6． 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，回来时逆风，每小时可以飞1200千米，问这架飞机最多能飞多少千米就需要往回飞？
7． 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大的时候，你刚3岁，当你像我这么大的时候，我已经39岁了。”那么，这位老师今年有多少岁？
8． 有一个分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为；如果分子加上4，原分母不变，约分后为，问原分数是多少？
9． 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑，问少先队员一共挖了多少个树坑？
10． 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小朋友分枣，甲班每个小朋友比乙班每个小朋友少分3个枣，乙班每个小朋友比丙班每个小朋友少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，三个班总共分了多少枣？
11． 一批树苗，按下列原则分给各班栽种：每一班取走100棵又取走剩下树苗的；第二班取走200棵，又取走剩下树苗的；第三班取走300棵又取走剩下树苗的；依次类推，第班取走树苗100×棵又取走剩下树苗的。直到取完为止。最后各班所得树苗都相等。这批树苗有多少棵？有几个班？每个班取走树苗多少棵？
第二单元 不定方程
知识、规律、方法
列方程求解，有些应用题会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数的情况。这种情况下的方程称为不定方程。不定方程的解往往有无数个，但如果有限制条件，一般会使解的个数变成有限个。
在这些不定方程中常常附有其它一些限制条件（如为整数，小于等等），这些条件有时是明显的，有时是隐藏的（此时容易被忽视），但它们对不定方程的求解至关重要。本单元所学习的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。我们主要学习两方面的问题；
1． 怎样求不定方程的整数解。
2． 怎样列出不定方程来求解。
范例、解析、拓展
例1 求不定方程的自然数解。
拓展一求的整数解（＞，＞）。
拓展二求方程组的自然数解。
拓展三求不定方程的自然数解。
例2 大客车有48个座位，小客车有30个座位。现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？
拓展一 邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700元。已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元。问邮局买这两种车各多少辆？
拓展二一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347”。你知道李军的生日是几月几日吗？
拓展三 王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后三位数组成的数相加得9063；将前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529。王老师家的电话号码是多少？
检测、反馈、应用
1． 有根长米的木料，现在要把它分割成每根长米和米的两种规格，试写出木料分割成两种规格恰好没有剩余的所有分割法（损耗不计）。
2． 甲地有89吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升，运完这些货物最少耗油多少升？
3． 甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1995，满足此条件的自然数有多少组？
4． 一个小于80的自然数，它与3的和是5的倍数，它与3的差是6的倍数，这个自然数是几？
5． 如果在分数的分子分母上分别加上自然数、所得的结果为，那么的最小值是多少？
6． 小王用50元钱买40个水果招待五位朋友。水果有苹果、梨和杏三种，每种水果的价格分别为200分、80分、30分。小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同。他能否实现自己的愿望？
7． 袋子里有3种球，分别标有数字2、3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43。小明最多摸出几个标有数字2的球？
第三单元 有关代数的其他问题
知识、规律、方法
在解决一些实际问题时，有些情况需要借助代数的方法来进行解答。借助代数进行分析时，可以使复杂问题变得简单，讨论时更容易找出方法、规律。
例1．甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时，已知甲车每小时比乙车快35千米。A、B两个城市间的公路长多少千米？
拓展一 如图，在三角形ABC中，AE=2EC，D为BC中点，三角形ACD的面积为 平方厘米，三角形BCE的面积为平方厘米，求阴影部分面积。
拓展二 王大伯想用20块长2米、宽米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽应分别是多少？
拓展三 采购员小李后两次购买同一家公司的A、B两种钢管，两次购买的A型钢管总数与B型钢管总数相等，第一次购买的A型钢管数与第二次购买的B型钢管数也相等，但第二次比第一次多用50%的钱，已知小李第一次购买了320根A型钢管，A型钢管的价格是B型钢管的2倍。小李第一次购买B型钢管多少根？
例2．A、B、C、D、E、F分别代表1至9 中的某个数字，不同的字母代表不同的数字。如果，，，，，，求，，。
拓展一 有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个正文形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
拓展二 农村计划挖一个面积为432的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地面积最小，水池的长和宽分别是多少？
拓展三 若一个长方体的表面积为54平方厘米，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？
检测、反馈、应用
1． 有13个自然数的平均值精确到小数点后一位数时的值是22.9，那么精确到小数点后两位数时的值为多少？
2． 下面两个图中，AB线段的长相等，问哪个图中的阴影部分的面积大？
3． 如图，平行四边形ABCD的周长为102厘米，以CD为底时高为20厘米，以BC为底时高为14厘米，求平行四边形的面积。
4． 如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个商品的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？
5． 某游泳池出售冬季学生游泳卡，每张240元。使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名学生，老师打算组织大家集体游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需要一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元。若要使每个同学游8次，每人最少交多少钱？
6． 某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？
7． ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G代表1至9中不同的数字。已知ABCD+EFG=1993，问乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？
8． 如右图正方形ABCD的边长为4厘米，AE、DF的长分别是边长的，三角形ECH的面积为7平方厘米，EG的长是多少厘米？
9． 若三个连续偶数的积为884352，求这三个连续偶数的和。
10． 如图，在图中的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线的三个数中，当中的数是两边的平均数，现在已经填好了两个数，那么是多少？
11． 某公司，在A、B两地分别库存有某机器16台和12台，现在要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方15台，乙方13台。已知从A地运一台到甲方的运费为500元，到乙方的运费为400元，从B地运一台到甲方的运费为300元，到乙方的运费为600元，已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？
第五章 简单的图形推理
第一单元 分数与比的相互转化
知识、规律、方法
在有些应用题中，有时要根据分数与比的关系，把分数转化成比，或把比转化成分数来解。要根据实际情况，灵活应用分数与比的转化。
分数与比的关系为：分子：分母，前项：后项=
范例、解析、拓展
例1． 某班男生人数是女生人数的，求男生人数与全班人数的比。
拓展一 甲数的等于乙数的30%。求甲数和乙数的比。
拓展二 两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形的面积的。求这两个长方形的面积比。
拓展三 小军行走的路程比小红多，而小红行走的时间却比小军多。求小军和小红的速度比。
拓展四 甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付钱数的等于乙付钱数的，等于丙付钱数的，已知丙比甲多付了120元，这台电视机多少钱？
例2． 甲、乙两班原有人数比为5：4，若从甲班调9人到乙班，那么乙班与甲班人数之比为5：4，两个班原来各有多少人？
拓展一 仓库里原有一批粮食，调出20%，又调入40吨，这时仓库中的粮食与原有粮食的比为28：25，仓库中现有粮食多少吨？
拓展二 新光村1989年旱田与水田的比为5：3，去年将2800公亩的旱田改成水田后，旱田与水田的比为1：2，新光村共有田地多少公亩？
拓展三 某俱乐部男、女会员的人数之比是3：2，分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10：8：7，甲组中男、女会员的人数比是3：1，乙组中男、女会员的人数比是5：3，求丙组中男、女会员人数之比。
检测、反馈、应用
1． 一本书，晓杨第一天读了总页数的，第二天读的页数与第一天读的页数之比为6：5，还剩下64页没有读，全书共有多少页？
2． 小明和小芳各走一段路，小明走的路程比小芳多，小芳所用的时间比小明多。小明和小芳的速度之比为多少？
3． 公鸡只数为与母鸡只数的相等，求公鸡只数与母鸡只数的比。
4． 甲、乙两仓库存货吨数的比为4：3，如果由甲库取出8吨放入乙库中，则甲、乙两仓库存货吨数比为4：5。两仓库原存货共有多少吨？
5． 盒子中有两种不同颜色的棋子，黑子数的等于白子数的，已知黑子数比白子数多42颗。两种棋子各有多少颗？
6． 等腰三角形的顶角和一个底角的比为5：2，它的底角是多少度？
7． 甲、乙两个车间原有人数比为4：3，甲车间调48人到乙车间，甲、乙两车间的人数比为2：3，甲、乙两车间原来各有多少人？
8． 筑路队4天修完一条路，第一天修了全长的32%，后三天修了长度比为6：7：4，最后一天比第一天少修了8千米。这条公路全长多少千米？
9． 参加语文竞赛的人数是参加数学竞赛人数的，语文获奖人数是数学获奖人数的，而两个竞赛都没有获奖的都是320人，那么参加这两项竞赛的总人数是多少人？
10． 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽的比为3：2，乙的长与宽的比为7：5，求甲与乙的面积之比。
11． 分数，分子、分母都加上以后，分子与分母的比为19：7，求是多少？
12． 李华读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了6页，这时他已读的页数与未读的页数的比为3：7，李华再读多少页就能读完这本书？
13． 自然数A、B满足，且A：B=7：13。那么等于多少？
14． 如图，有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面，横式盒由一块长方形纸板做底面。两块长方形和两块正方形纸板做侧面。那么做成的竖式和横式纸盒个数之比是多少？
15． 如右图所示。圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分占圆A面积的。圆B的阴影部分占圆B面积的，圆C的阴影部分占圆C面积的。求三个圆的面积之比。
第二单元 按比例分配
知识、规律、方法
把一个数量按一定的比例进行分配的问题，叫做按比例分配。解答按比例分配应用题，关键是确定分配总量和确定分配的比，要找到分配的总数量是多少，看它是按什么样的比例进行分配的，对于隐含的分配总量和分配的比要仔细分析、正确确定。一般按下面步骤来解答。
1． 先求出按比例分配的总数量。
2． 再找出分配的比，并求各个部分占总数量的几分之几。
3． 用总数量乘以部分量占总数量的几分之几得到各个部分量。
范例、解析、拓展
例1 新华书店运来4000本新书，把其中的按2：3分给甲、乙两个门市部，每个门市部分到多少本？
拓展一 长方体棱长和为216厘米，它的长、宽、高之比为4：3：2，这个长方体的表面积是多少？
拓展二 两个服装厂，一个月内生产的西服数量是6：5，两厂西服价格比为11：10。已知这个月两厂的总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
拓展三 五年级举行数学竞赛，一班占参加比赛总人数的，二班与三班参加比赛的人数的比是11：13，二班比三班少8人，则三个班各有多少人参加比赛？
拓展四 买甲、乙两种铅笔共210支，甲种铅笔每支价值3分，乙种铅笔每支价值4分，两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了多少支？
例2．一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次为1：2：3，某人走这三段路所用时间之比依次为4：5：6。已知他上坡时速度是每小时走3千米，路程全长50千米，问这人走完全程用了多少小时？
拓展一 某实验小学六年级学生分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数比为5：4，第二组和第三组的人数比是3：2。已知第一组人数比第二、三组人数总和少15人。问：六年级参加植树的共有多少人？
拓展二 有三箱水果共重60千克，如果从第一、二箱中都取出4千克水果放入第三箱中，则第一、二、三箱水果重量比为1：2：3，问三箱水果原来分别重多少千克？
拓展三 加工一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4分钟，现在要加工370个零件，要求三人在相同时间内完成。每人应该分配到多少个零件的任务？
拓展四 一个分数，分子与分母之和是100，如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是，原来的分数是多少？
检测、反馈、应用
1． 有一块铜锌合金，其中铜与锌之比为2：3，现在加入锌6克，共得合金36克，求在新的合金内铜与锌的比。
2． 大上两瓶油共重千克。小瓶用去千克后，剩下的油与小瓶油重量比为
3：1。大、小瓶原来各有油多少千克？
3． 有两个圆，它们的面积之差为209平方厘米，已知大圆周长与小圆周长的比为
10：9，问小圆的面积是多少
4． 某校原有科技书、文艺书630本，其中科技书与文艺书的比为1：4，后来又买进一些科技书，这时科技书与文艺书的比为3：7，问买进科技书多少本？
5． 甲、乙两厂人数比为7：6，从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂人数比为2：3，甲、乙两厂原用多少人？
6． 学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级3个班。一班和二班分得树苗棵数比为2：3，二班和三班分得的树苗棵数比为5：7，求每个班各分得多少棵树苗？
7． 大、小两个圆的面积比为9：1，周长相差12.56厘米，大、小两个圆的面积之和是多少平方厘米？
8． 六年级原有240人，男、女生人数比为8：7，后来又转来几名女生，这时女生与男生人数比为15：16，问后来又转来几名女生？
9． 有A、B、C三个分数，它们的分子之比为3：2：4，分母之比为5：9：15，这三个分数之和约分后得，求其中最小的分数。
10． 有三堆煤共重27吨，如果从第一、二堆中各运出1.5吨到第三堆，这时第一、二、三堆的重量之比为1：3：2，三堆煤原来各有多少吨？
11． 一根长144分米的铁丝，截去了，要用剩下的部分焊接成一个长方体，使长、宽、高之比为2：1：3，求这个长方体的体积。
12． 有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲、乙两袋重量比为8：5，两袋米原来各重多少千克？
13． 张家与李家本月的收入钱数之比为8：5，本月的开支钱数之比为8：3，月底张家节余240元，李家节余270元，本月两家各收入多少元？
14． 六年级240人，喜欢语文与不喜欢语文的人数比为5：3，喜欢数学与不喜欢数学的人数比为7：5，两门都喜欢的有86人，两门都不喜欢的有多少人？
15． 小明和小强买同一种玩具车，汽车的价格是小明所有钱的，是小强所有钱的，当他们都买了玩具汽车之后，小明剩下的钱比小强剩下的钱多10元，小明剩下的钱是多少元？
16． 在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛有半杯水，1号杯中溶有100克糖，3号杯中溶有100克盐，先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的倒入2号杯，然后搅匀，再从2号杯中倒出所剩液体的到1号杯，接着倒出所余液体的到3号杯中，这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少？
第三单元 比例的应用
知识、规律、方法
在实际生活中，两种相关联的量成正、反比例关系的例子很多，我们可运用正、反比例关系来解决一些简单的实际问题。
在解一般的比例应用题时，第一步要找出与问题有关的两种相关数量，并确定它们之间的比例关系。第二步要找出两种量的对应数量，并设未知数为。第三步应根据正、反比例的意义列出比例式。第四步解比例，求出的值。最后是检验，写出答案。
比例应用题常常与比的知识、分数应用题、工程问题行程问题及几何图形交织在一起，数量关系会比较复杂，解题时应先理清关系再正确地列出比例式解答。
范例、解析、拓展
例1 某单位买甲、乙两种圆珠笔共150支，已知甲圆珠笔每支3元，乙圆珠笔每支2元，且甲、乙两种圆珠笔所有钱数一样多。甲、乙两种圆珠笔各买了多少支？
拓展一 甲、乙、丙三人进行200米赛跑（他们的速度保持不变），甲到终点时，乙还差20米，丙离终点还有25米，问乙到达终点时，丙还差几米？
拓展二 在三角形ABC中，AD垂直于BC，CE垂直于AB，AD=8厘米，CE=7厘米，厘米。三角形ABC的面积是多少平方厘米？
拓展三 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短的时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？
例2 甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出。经8小时相遇后，甲车继续向前开 到B城还要4小时。已知甲每小时比乙快35千米，A、B两城市之间的公路长多少千米
拓展一 小明家距离学校3.5千米，通常他总是步行上学。有一天他想锻练身体，前的路程快跑，速度是步行速度的4倍；后一段路程是慢跑，速度是步行速度的2倍。这样，小明比平时早到35分，小明步行速度是多少？
拓展二 甲船从东港到西港要行6小时，乙船从西港到东港要行4小时。现在两船同时从东西两港出发，相向而行，结果在离中点18千米处相遇。相遇时甲行了多少千米？
拓展三 两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50圈，另一个转了40圈。如果一个铁环周长比另一个铁环周长短44厘米，这段距离为多少米？
拓展四 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人，现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么慢车每小时走多少千米？
检验、反馈、应用
1. A、B、C是三个顺序咬合的齿轮，已知齿轮A旋转7圈时，齿轮C旋转6圈。如果A的齿轮是42，那么C的齿数是多少？如果B旋转7圈，C旋转1圈，那么A旋转8圈时，B旋转了多少圈？
2. 春华要买一些圣诞卡，由于圣诞卡减价20%，用同样多的钱她可以多买6张，问春华原来要买多少张圣诞卡？
3. 一个长方形如图，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20亩、25亩和30亩，问另一个长方形的面积是多少亩？
4. 一个玻璃瓶内原有盐是水的，加进15克盐后盐占盐水的，瓶内原有盐水多少克？
5. 已知三角形ABC的边长都是96厘米，用折线把三角形分割成面积相等的四个三角形，那么CE和CF的长度和是多少厘米？
6. A、B两地相距360米，前一半时间小华用速度A行走，后一半时间用速度B走完全程。又知A：B=5：4，前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少？
7. 甲、乙两包糖的重量比为4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：5,那么两包糖的重量比变为多少克?
8. 甲、乙两人分别从A、B两地同时同向而行，经过4小时15分，甲在C处追上乙，这时两人共行了41千米，乙从A到B要走1小时45分，A、B两地相距多少千米？
9. 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该工厂接某劳模作报告，往返需要1个小时，这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立即上车驶向学校，在下午两点四十分到达，问汽车的速度是劳模步行速度的几倍？
10. 猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑五步的路程，兔子要跑九步，但兔子动作快，猎犬跑两步的时间，兔子却能跑三步，猎犬至少跑多少米方能追上兔子？
11. 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二次在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，问顺水船速和逆水船速之比是多少？（该船本身的速度及水流的速度是不变的）
12. 有两组数，第一组的平均数是12.8，第二组的平均数是10.2，而这两组数的平均数是12.02，那么第一组数的个数与第二组数的个数的比值是多少？
13. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时，他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有是14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
14. 甲、乙二人骑自行车从环形路上同一地点出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后第45分钟，甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？
15. 如图：AD=5厘米，CF=6厘米，求长方形BDEF的面积。
16. 一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4。两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天，后来，由一队工人的与二队工人的组成新一队，其余的工人组成新二队，两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程。结果新二队比新一队早完工6天，那么前后两项工程的工作量之比是多少？
17. 一个圆柱体容器内，放有一个长方形铁块，现在打开一个水龙头往容器中注水3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟后，水灌满了容器，已知容器的高度是50厘米，长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面积的比是多少？
18. 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达。如果以原速行驶120千米，再速度提高25%，则将提前40分钟到达，那么甲、乙两地相距多少千米？
第六章 逻辑问题
第一单元 抽屉原理
知识、规律、方法
有这样一个例子，把5个苹果放入4个果盘中，那么一定有某个果盘中至少有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理的例子。
规律1：如果把件东西放入个抽屉里，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。
规律2：把个物体放入个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有个物体。
规律3：把个物体放入个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有个物体。
如果物体总数恰好为个时，把它放入个抽屉中，那么必有一个抽屉中最少放个物体。
利用抽屉原理解决实际问题时要按三个步骤去思考：
1． 确定把什么当作“抽屉”。
2． 确定把什么当作“物体”。
3． 如果条件满足“抽屉少、物体多”，就能根据抽屉原理得出结论。
要学会制造抽屉。有时在不同的题目中，相同的对象，有时当作“抽屉”，有时当作“物体”，到底把谁当作抽屉，要因题而异，灵活应用。
范例、解析、拓展
例1 某校六年级学生有31人是四月份出生的。请你证明：至少有两人出生在同一天内。
拓展一 今年入学的一年级新生中，有181人是1998年出生的。这些新生中，至少有多少人是1998年的同一个月出生的。
拓展二 袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
拓展三 某地区中学生有11000人，其中必有多少人是同年周月同日生的？（中学生年龄为12～18岁）。
拓展四 一副扑克牌共有54张，至少从中取出多少张，才能保证其中必有3种花色。
例2. 图书角剩下科技书和文艺书各4本。现有4个学生来借阅，每人可以从中任意借2本。请你证明：必有两位学生借阅的图书完全相同。
拓展一 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两位学生的球的颜色完全相同？
拓展二 在一副扑克牌中取牌，至少取多少张，才能保证其中必有3张牌的总数相同？
拓展三 如果有一个的方格阵列，每一列的3个方格任意用红、黄、蓝、绿四种颜色中的三种染成三种不同的颜色，问至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同？
拓展四 在边长为1的正方形内任取51个点，求证：一定可以从中找出3点，以它们为顶点的三角形的面积不大于。
拓展五 能否在的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1、2或3，使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同？
检测、反馈、应用
1． 在一条长100米的小路一旁种101棵树苗，证明：不管怎样种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。
2． 20名乒乓球运动员进行单循环比赛。证明：在比赛过程中的任何时候，至少有两位选手比赛过的场次相同。
3． 六年级共有男生57人，证明：其中至少有2名男生在同一个星期内过生日。
4． 体育室有篮球、足球、排球各7个，现有7个学生来借球，每人从中任意借走2个。证明：必有两名学生借的球完全相同。
5． 幼儿园买来四种玩具，每位小朋友可以从中任意选两种不同的玩具。问至少要来几名小朋友才能保证有两人选的玩具完全相同？
6． 19朵花插入4个花瓶里。证明：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。
7． 有红、黄、绿小球各10个，混合在布袋里。一次至少摸出多少个。才能保证有4个同色的？
8． 一个箱子里有很多玩具，共分4种：飞机、汽车、坦克、舰艇，每个小朋友可任选两件。至少要有几位小朋友来选玩具，才能保证有3个小朋友所选的玩具是一样的？
9． 证明：从3、5、7、…、27、29这14个奇数中，任取8个数，其中一定有两个数的和是32。
10． 有一大筐苹果和梨，分成若干堆。如果确保找到这样两堆，使这两堆中梨的总数和苹果的总数都是偶数，那么最少要把这些苹果和梨分成几堆？
11． 某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？
12． 六（2）班的同学参加一次数学考试。满分为100分，全班最低分为75分。每人得分都是整数，并且班上至少有3人得分相同。那么，六（2）班至少有多少名同学？
13． 一副扑克牌有54张，至少抽取多少张，才能保证其中必有一张是“A”？
14． 李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。这批图书至少有多少本？
15． 一个盒子中有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色、8个颗白色、7颗黄色、5颗绿色。如果不用眼睛看，那么至少从盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子颜色相同？
16． 某市举行数学竞赛，共有52个学校的308名学生参加了竞赛，按组委会规定，每个学校的选手不得超过6名，至少有几个学校派足了6名选手竞赛？
17． 任意给定2002个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2002的倍数，（单独一个数也当做和）。
第二单元 推理问题
知识、规律、方法
逻辑推理问题是一种由众多条件组成的判断性问题。它主要不是靠计算、作图等专门的数学知识，而是要求从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。讨论这些问题时，必须进行条理清晰的思维和严谨有序的推理。要注意理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，对归纳作出正确的判断。
解决这类问题常用的方法有：假设法、排除法、列图表法等。
范例、解析、拓展
例1 有一座四层楼，每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和茶色。如果每个窗户表示一个数字，每层数的三个窗户从左到右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数分别是612，275，791，362。那么，第三层楼表示的三位数是多少？
拓展一 下图是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同摆法，问三个正方体朝左那一面的数字之和是多少？
拓展二 有三只盒子，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有红球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么吗？
拓展三 已知在每个正方体的6个面上分别写着1、2、3、4、5、6这6个数，并且注意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如图1）在紧挨着的两个面上的2个数之和都等于8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？
例2 小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道：
（1） 小孙比教师年龄大；
（2） 小赵和医生不同岁；
（3） 医生比小钱年龄小。
请你判断一下，谁是工人？谁是医生？谁是教师？
拓展一 甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
（1） 甲上课全用汉语；
（2） 外语老师是一个学生的哥哥；
（3） 丙是女的，比数学老师年轻；
甲、乙、丙各都什么课？
拓展二 一位警察，抓获4个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下：
早说：“不是我偷的。”
乙说：“是甲偷的。”
丙说：“不是我。”
丁说：“是乙偷的。”
他们四人中只有一个说的是真话，你知道谁是小偷吗？
拓展三 A、B、C、D四位外国朋友住在18层高的饭店里，他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西哥。
（1） A住的层数比C住的层数高，但比D住的层数低；
（2） B住的层数比朝鲜人住的层数低；
（3） D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；
（4） 如果埃及人住的层数增加2层，他与朝鲜人相隔的层数，恰好与他和墨西哥人相隔的层数一样；
（5） 埃及人住的层数是法国人与朝鲜人住的层数的和。
根据上述情况，请你确定A、B、C、D分别是哪国人，分别住哪一层？
检测、反馈、应用
一． 填空题
1. A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，得分都是高于91的整数。如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是 。
2. 一位学者在几年前逝世，逝世时的年龄是他出生年数的，如果这位学者在1955年主持过一次学术讨论会，那么他当时的年龄为 岁。
3. 有8个球编号是①到⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻一克。为了找出这两个轻球，小刚用天平称了3次。结果如下：第一次①﹢②比③﹢④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么，两个轻球的编号是 和 。
4. 某年的10月份有四个星期五、五个星期三。这样的10月8日是星期 。
5. 某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874、765、123、364、925,其中每一个数与商品编号恰好在同一个位数上有一个相同数字。这个商品的编号是 。
6. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是教师，一位是大学生。现在知道：小李比教师年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。那么三人中 是工人， 是教师， 是大学生。
7. 甲、乙、丙三人进行跑步比赛，A、B、C三人对赛后结果进行预测，A说：“甲肯定是第一名。”B说：“甲不是最后一名。”C说：“甲肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是 。
8. 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进行象棋比赛，每两人都要赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分。到现在为止，甲赛了4盘，得2分；乙赛了3盘，得4分；丙赛了2盘，得1分；丁赛了一盘，得2分，那么小明赛了 盘，得 分。
二、解答题
9. 甲、乙、丙三人被蒙上眼睛，他们每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色不是红的就是绿的，当去掉蒙眼睛的布时，要求每个人如果看见别人（一个人或两个人）戴的是红帽子就举手，并且谁能判断出自己头上帽子颜色的，谁就马上离开房间。三人碰巧戴的都是红帽子，因此三人都举了手。几分钟后，丙首先走开了，他是怎样推导出自己头上帽子的颜色的？
10. 三只口袋里分别装有两只红球、两只白球、一红一白球，但口袋外贴的标签都是错的。请从一只口袋里取出一只球，使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。
11. 有100个人，其中至少有1人说假话，这100人里任意2个人总有1个说真话，问说真话的有多少人？说假话的有多少人？
12. 一位老师当着A、B、C三位学生的面拿出5顶帽子，三白两黑。然后将三位学生的眼睛蒙住，分别给他们各戴上一顶帽子，其余两顶收了起来。老师先打开A学生的眼罩，问他知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，A回答不出。老师又打开B学生眼罩，问B知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，B也回答不出，这时C学生正确地说出自己戴是的白帽子，试说明C学生的理由。
13. 五年级四个班举行数学竞赛，小强猜的比赛结果的名次排列是（3）班第一名，（2）班第二名，（4）班第四名；小明猜的名次排列是（2）班，（4）班，（3）班，（1）班。已知，（4）班是第二名，其他各班名次两人都猜错了。这次竞赛名次是怎样排列的？
14. 甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊就是你的两倍。”乙回答说：“如果把你的羊给我一只。我们俩的羊数就一样多了。”他们原来各有多少只羊？
15. 某工厂有六名棋手进行单循环比赛。比赛分三场同时进行，共赛五天，每人每天赛一场。已知在第一天C和E对弈，第二天B和D对弈，第三天A和C对弈，第四天D 和E 对弈。试问，F在第五天与谁对弈？
16. A、B、C、D、E、F、G、H共八人为四对夫妻。已知：（一）E曾作为客人参加了D的结婚典礼。（二）A的爱人是H的表兄。（三）E和F性别相同。（四）A、B、E三人在结婚前，同住一间宿舍。（五）H夫妇出国旅行时，B、C、E代表各自的爱人到机场送行。请说出八个人，谁和谁是夫妻。
17. 一台天平，只有30克和5克的两只砝码，如何将300克药粉分成150克、100克和50克三份，请写出详细过程。
18. 三个班的代表队进行次篮球比赛，每次第一名得分，第二名得分，第三名得C分（、、为整数且＞＞＞0），现已知这N次比赛中一班共得20分，二班共得10分，三班共得9分，且最后一次二班得了分，那么第一次得了分的是哪个班？
19. 世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队记0分，平局时两队各记1分。小组全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按小分排序，一个队至少积几分才能保证本队必然出线？
第三单元 最优化问题
知识、规律、方法
在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间、最小的投入、最少的人力、最快的速度，取得最好的效果？我们称之为统筹或优化问题。
在碰到优化问题时,通常要注意场地的选择、物资的调运、最佳路线的安排、合理地安排时间等，力求在许多方案中，寻求一个最合理、最节约、最省事的方案。
例1 一只平底锅上只能煎两只饼。用它煎1只饼需要2分钟（正、反面各1分钟），问煎3只饼需几分钟？怎样煎？
拓展一 妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟。小明估算一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人尽快喝上茶，你认为最合理安排，多少分钟就能沏茶了？
拓展二 甲、乙两人各拿一个水桶到水龙头前接水。水龙头注满甲的水桶要5分钟，注满乙的水桶要4分钟。现在只有一个水龙头，怎样安排两个人接水的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少分钟？
拓展三 电车公司维修站有7辆电车需要维修，修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元，现在由3名工作效率相同的维修工各自单独工作，要使经济损失减少到最少程度，最少损失多少元？
拓展四 两辆卡车到河边运沙子，河边有10个工人装车，卡车装满后，30分钟可以跑一个来回，有人说：“5个人负责一辆卡车的沙子，两辆车同时装，30分钟就能装完，这样速度快。”有人说：“10个人同时装一辆车的沙子，20分钟装一车，装完一车再装一车，这样速度快。”你认为哪种办法效率高？
例2 在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中放在一个仓库中，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？
拓展一 沿铁路有5个工厂A、B、C、D、E（如下图），各厂每天都有10吨货物向外运。现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。车站应建于何处？
拓展二 下边是一张工厂区示意图。要在公路上设一个汽车站，使各厂到车站所走路程式的总和最小，汽车站应设在哪里？
拓展三 北京和上海分别制成了同一型号的大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台，苦每台计算机的运费如下表（单位：元），应该如何调运，才能使总的运费最省？
汉口
重庆
北京
400
800
上海
300
500
检测、反馈、应用
1． 张老师找甲、乙、丙3名学生来办公室谈话，甲要10分钟谈完，乙要12分钟谈完，丙要8分钟谈完。怎样安排三人谈话的顺序，使三人花的总时间最少？最少要多少分钟？
2． 小红从早上起床到上学前，要做的事有：（1）洗脸刷牙2分钟；（2）整理床铺1分钟；（3）扫地2分钟；（4）热早饭10分钟；（5）早锻炼5分钟；（6）读外语15分钟；（7）烧开水20分钟；（8）吃早饭5分钟。她一共用了一小时的时间。请你帮她合理安排一下，至少多少分钟就能做完这些事情？
3． 四（1）班赵明、五（2）班孙强、六（3）班李花三人同时到达学校医务室，等候医生治疗。赵明打针要用5分钟，孙强换纱布需3分钟，李花点眼药水只要1分钟。医务室只有张医生一人，问张医生如何安排三人治病的次序，才能使三人留在医务室的时间总和最短？最短是多少时间？
4． 星期天，小华学做“葱花炒蛋”，共要七道工序：洗碗、切葱花、拌葱花、打蛋、洗锅、烧锅熬油、炒蛋，他是这样安排的：
洗碗 敲蛋 切葱花 拌葱花打蛋 洗锅 烧锅熬油 炒蛋
1分 1分 2分 3分 2分 7分 4分
算一算他一共用了多少分钟？你认为最合理的安排应多少时间就可以做好这道菜？
5． 5人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排打水的顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值？
6． 甲、乙两村相距10千米，要在两村之间联合建一所小学校。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么小学校应建在什么地方，才能使这100个学生每天上学的总行程最少？
7． 工地上有手推车20辆，其中10辆从到运垃圾，要60车次运完。另外10辆从到运砖头，要40车次运完。工地上的可行道路及路程如图（单位：米）。有人说这样安排不合理，因为空跑车的路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理？
8． 甲城有57吨货物要运到乙城。大卡车载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗油量分别是10升和7.5升，则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省？
9． 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以两人合作，那么张、李共同完成这两项工作最少需要多少天？
10．要在这7个仓库的附近选一个车站来专为运输用。仓库分布如下：
圆圈中的数字表示仓库的号数，连线表示运输道路，车站选在何处最好呢？
11．某车队有4辆汽车，担负A、B、C、D、E、F六个工厂的运输任务（如图），图中标出的数是各分厂所需装卸工人数，各分厂所需装卸工共33人，让部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配一个或几个装卸工，如何安排才能保证各分厂所需工人数，又使装卸工人数最少？
12．有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图，单位：千米）。要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管能供给所有各村用水，细管只能供给一个村用水，粗管每千米用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配，互相连接，可能降低工程总费用，按你认为最节约的办法，费用应该是多少元？
第四单元 最大和最小问题
知识、规律、方法
在数学中，经常会碰到在一定的条件下求最大值和最小值的问题。这类问题没有固定解法，往往要对所给的条件认真分析、准确判断、合理地推想，最后才能得到准确答案。
在解答这类问题时，常常用到下面的规律：
1. 当两数和一定时，两数的差愈小，两数的积愈大；当两数相等时，这两数积最大。
2. 若几个数的和一定，当几个数相等时，它们的积最大。
3. 周长一定的长形中，正方形的面积最大。周长一定边数相等的多边形中，正多边形的面积最大。周长一定的正多边形中，边数愈大面积愈大，且圆的面积最小。
4. 若两数的乘积一定，那么当两数相等时它们的和最小。
5. 将数分成若干个数的和，当时，分拆成，此时这些数的乘积最大为；当时，分拆成，此时这些数的乘积最大为；当时，分拆成，此时这些数的乘积最大为。
例1 下面等式中，B应是什么数是时，才能使A最大？
。
拓展一 用一根长16分米的铁丝弯成一个长方形，当长与宽各是多少时，长方形的面积最大，最在的面积是多少？
拓展二 比较下面两个乘积的大小：
拓展三 把1.5，3.7，6.5，2.9，4.6分别填入下图的□内，再在每个○中填入和它相连的3个□中的数的平均数，最后把3个○中的数的平均数填入“△”内。请找出一种填法，使△中的数尽可能大。
拓展四 一个整数乘13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是多少？
拓展五 一个五位数，五个数字各不同，且是13的倍数，则符合以上条件的最小数是多少？
例2 把15分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，这个乘积是几？
拓展一 把19分拆成几个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。
拓展二 把14分成几个自然数的和，怎样分能使这些数的乘积最大。
拓展三 将2001拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数乘积最大，该乘积是多少？
例3 要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长是以米为单位的自然数，这个猪圈的围墙
最少长多少米？
拓展一 用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积恰好是216立方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？这根铁丝最短是多少厘米？
拓展二 农场计划挖一个面积为432平方米的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3米和4米的堤堰（如图），要想使占地总面积最小，水池的长和宽各应为多少米？
例4 一把钥匙开一把锁。现有4把钥匙4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？
拓展 一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把锁，最多试多少次才能配好全部钥匙和锁？
检测、反馈、应用
1. 从1～9这9个自然数中选出8个数填在下面8个“○”内，使算式的结果尽可能大。这个最大的结果是
○÷○×（○＋○）－（○×○+○－○）
2. 长方形的面积为144平方厘米，当它的长和宽分别为多少厘米时，周长最短？
3. 一个长方体所有棱长的和是96厘米，当它的长、宽、高各是多少时，长方体的体积才最大？体积最大是多少？
4. 如果四个人的平均年龄是30岁，且在四人中没有小于21岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？
5. 一把钥匙开一把锁。现有10把钥匙10把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次能配好全部的钥匙和锁？
6. 25只乒乓球中有一只是次品，次品较正品轻一些。现有一个天平，问最少称
次，一定能把这个次品找到。
7. 从多位数123456789101112…100中找出100个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成的多位数最大。
8. 只有1和它本身为约数的数叫质数。设一个长方形的长、宽均为质数个单位，并且周长是36个单位。这个长方形的面积最多可以是多少个平方单位？
9. 把13分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的乘积最大？
10. 已知长方体的长、宽、高均为整数厘米，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。求表面积最小的长方体的体积。
11. 把20分成几个自然数的和，要使得这些自然数的乘积尽可能大，则这个乘积应是几？
12. 从1，2，3，…1999这些自然数中最多可以取多少个数，使其中任意两个数之差都不等于5？
13. 一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分。这6位同学的得分互不相同，其中1位同学仅得了65分。那么，得分排在第3名的同学至少得多少分？
14. 布袋中有同样大小的球若干个，其中红球10个，黄球20个，白球15个，黑球30个。从袋中至少摸出 个球，才能保证摸出的球中至少有5个同色的球。从袋中至少摸出 个球，才能保证摸出的球中有4种颜色。
15. 小从从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）请你帮他找一条最短路线，并写出过程。
16. 唐老鸭与米老鼠进行10000米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠就以原速度的10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过摇控器发出指令的次数至少应是多少次？
17. 右图是小红从家到学校经过的所有街道，观察小红从家到学校怎样走路程最短，并找出共有几条最短路线。
第五单元 牛吃草问题
知识、规律、方法
牛吃草问题指的是关于一群牛在一块均匀生长的草地上吃草的问题。由于草的总量是在不断变化的（假设其均匀变化），因此工作总量不固定但在均匀变化。解这类题的关键是要正确计算草地上原有的草及每天长出的新草。
牛吃草问题通常指1个个体在一个时间单位内完成的工作量，假设为1份，从而要逐步弄清：
1.原来的初始工作量是多少。
2.每个时间单位均匀增加的份额是多少。
3.把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。
4.原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。
范例、解析、拓展
例1 有一片青草地，每天都匀速地长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或供32头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
拓展一 一块牧场的草够12头牛吃12天，或15头牛吃8天。如果在全部时间内青草能均匀生长，那么，这块牧场6天能养活多少头牛？
拓展二 一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
例2 有一池泉，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多。如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干。那么14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？
拓展一 画展9时开门，但很早就有人来排队等候入场。从第一个观众到来时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队。如果开5个入场口，9时5分就没人排队。第一个观众到达的时间是几时几分？
拓展二 假设地球上新生的资源的增长速度是一定的。照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？
检测、反馈、应用
1. 一片牧草，每天都在均匀生长。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么，可供19头牛吃多少天？
2. 因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
3. 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完。现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完，问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？
4. 快、中、慢三车同时从A地出发追赶一辆自行车，它们的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用了多少小时？
5. 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就能把水池中的水放光；如果打开8个水龙头，1小时半就把水池中的水放光。现打开13个水龙头，问要多少时间才能把水池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？
6. 商场自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶，兄妹两人从扶梯上楼。兄每分钟走20级。妹每分钟走15级，结果兄5分钟到达楼上，妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯有多少级？
7. 某火车站在检票前若干分钟开始排队。假设每分钟来的旅客人数一样多，若同时开3介检票口，则40分钟检票队伍检票完毕；若同时开放4个检票口，则25分钟检票队伍检票完毕，若同时开放8个检票口，则多少分钟检票队伍检票完毕？
8. 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车的速度是每小时24千米，中车速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？
9. 有一水池，池底不断涌出泉水。用10部抽水机20小时可以把水池水抽干，用15部抽水机10小时可以把水池水抽干。那么用25部抽水机多少小时可以把水池水抽干？
10. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需要20分钟，那么同时开7个检票口需要多少分钟？为了使15分钟内检票队伍消失，至少需要开多少个检票口？
11. 有三块草地，面积分钟为4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周，第三块草地可供50头牛吃几周？
12.
模拟试卷一
一、选择题。
1.一个数分别与相邻两个奇数相乘，得到的两个乘积相差40 ，这个数是（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
2.某项工作,甲单独干15天可以完成。线甲做了6天后剩下的工作由乙完成，用了18天。若这项工作全部由乙单独完成需要多少天？
A.9 B.10 C.20 D.30
3.正方形的一组对边增加6厘米，另一组对边减少4厘米，结果得到的长方形与原正方形的面积相等，原正方形的面积是（ ）平方米。
A.24 B.84 C.72 D.144
4.999…998×…98＋999…98×2的末尾有（ ）0。
A.1997 B.1998 C.1999 D.2000
5.小马虎把除数88.8错看成8.88，结果所得的商比正确的商少6.66，正确的商是（ ）。
A.79.92 B.59.94 C.7.4 D.66.6
6.一把钥匙只能开一把锁,现在4把钥匙,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试( )次才能打开所有的锁。
A.4 B.10 C.6 D.8
7.两个数的最大公约数是15,最小公倍数是180,已知其中一个数是60,另一个数是( )。
A.3 B.4 C.45 D.900
8.有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面从上到下放在一起表示不同的信号，可以组成（ ）种信号。
A.3 B.4 C.6 D.8
9.时钟在每个整点敲该钟点数，每半点敲一下，一昼夜共敲多少下？
A.12 B.24 C.48 D.180
10.五年级120人，排成一个三层空心的方阵，这个空心方阵外层每边有（ ）人。
A.12 B.13 C.40 D.30
二、填空题。
11.计算：
（ ）
12.有四个相互不相等的自然数，它们的乘积等于1992，那么它们的和的最大值是（ ）。
13.,,比较A与B的大小，A（ ）B。
14.一个布袋中有大小相同、颜色不同的一些小球。其中红的有10个，白色的有9个，蓝的有2个，一次至少取出（ ）个球，才能保证有四个相同的颜色。
15.客车与货车同时从两地相向而行，客车走完全程需要2小时，货车走完全程需要3小时，两车相遇时，客车比货车多走30千米，两地相距（ ）千米。
16.555…55除以148的余数是（ ）。
17.两个质数的和乘以它们的差得24，这两个质数是（ ）和（ ）。
18.一班和二班共78人，如果一半的人数的3倍与二班人数的5倍之和是318，那么一半有（ ）人，二班有（ ）人。
19.在前2001个正整数中,既不是平方数也不是立方数的有( )个。
20.右图中的圆半径为4厘米，阴影部分的面积为14平方厘米，求图中三角形的面积。
三、解答下面各题。
21.果园里有三种果树，梨树占，苹果树是梨树和桃树之和的，梨树和苹果树共360棵，那么桃树有多少棵？
22.甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲行全程要6个小时，两人相遇时，所行的距离比为3：2，这时甲比乙多行36千米，求乙的速度。
23.图中ABGC是8×14的长方形，DEGF是4×20的长方形，那么三角形BCM与DEM的面积差是多少？
24.小明共买了47册练习本，每册价钱分别是1.40元、0.6元、0.4元，共付42.40元。他买每册0.6元的练习本是买0.4元的练习本的2倍，每种练习本各买了多少本？
25. 商店同时出售两件商品，售价都是600元，一件是正吕，可赚20%；另一件是处理品，要赔20%，对这两件商品而言，是赚还是赔？
26. 某班男女生人数相等，喜欢足球的学生中的是女生，喜欢足球的男生点全班人数的。已知不喜欢足球的女生有21人，喜欢足球的男生有多少人？
27. 某班有26个女生，在期末考试中，全班有34人超过95分。问：男生中超过95分的女生中未超过95分的多几人？
28. 有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草？
29. 某列火车通过长为82米的铁桥用了22秒，如果火车速度加快一倍，它通过706米的铁桥就用50秒，求火车的长度。
30. 在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是，擦掉的自然数是多少？
31. A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，A得94分，B是第一名，C的得分是A与D的平均分，D得了五人的平均分，E比C多2分，是第二名，则B得了多少分？
32. 一容器内装有10升的纯酒精，倒出1升后，用水回满，再倒出1升，再用水加满，然后又倒出1升，又用水加满，求这时酒精溶液的浓度是多少？
33. 将1999减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，最后减去余下的，那么剩下的数是多少？
34. 狐狸、兔子和狗赛跑，已知狐狸的速度是兔子的，兔子的速度是狗的，1分钟狗比狐狸少跑20米，那么1分钟兔子比狐狸多跑多少米？
35. 从1到300的自然数中，至多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？
模拟试卷二
一、填空题
1. 甲、乙、丙、丁四个数的平均数是88，甲、乙、丙三个数的平均数是77，丁=（ ）。
2. =（ ）。
3. 小胖做乘法时，误把乘数4.32的小数点忘了，结果得到的乘积比正确答案大2138.4，正确答案是（ ）。
4. 一个圆周上有6个点，正好将圆周分成六等份，以这些点为顶点作三角形，可以作出（ ）个等腰三角形。
5. 三个互不相同的自然数之和为83，其中任意两个自然数的和都是平方数，这三个自然数是（ ）。
6. 两只桶中的油共重44千克，若从第一桶倒出，第二桶倒进2.8千克，则两只桶内的油相等。求原来第一桶装（ ）千克，第二桶装（ ）千克。
7. 在4点多钟时，时钟的时针和分针在一条直线上，且方向相反，这时是4点（ ）分。
8. 有1枚五角币、3枚二角币、8枚一角币，要付8角邮资，共有（ ）种付法。
9. 大小两数相差45，大数的等于小数的，这两个数是（ ）和（ ）。
10. 一个半圆的周长是25.7分米，这个半圆的面积是（ ）。
二、选择题
11. 甲、乙、丙、丁、戊五们同学，其中丙比丁高，比戊矮；戊比甲矮、比乙高，最高的同学是（ ）。
A.甲 B.乙 C.丙 D.戊
12. 将一些苹果装箱，如果装50箱，还剩这批苹果的60%；如果装80箱，还剩下900个，这批苹果共（ ）个。
A.1000 B.1250 C.2500 D.2800
13. 从１，２，３，４，…，1997这些自然数中，最多可以取（ ）个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于8。
A.500 B.600 C.900 D.1000
14. 在100米的路段上植树，至少要植（ ）棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米。
A.9 B.10 C.11 D.12
15. 某小学组织六年级学生春游，学校买了182瓶汽水分给每个学生。如果每5个空瓶又可换得1瓶汽水，那么这些汽水瓶最多可换得（ ）瓶汽水。
A.36 B.38 C.15 D.45
16. 今天是星期日，过天是星期（ ）。
A.二 B.三 C.四 D.六
17. 一个自然数，各个数位上数字和为1997，则这个自然数最小是（ ）。
A. B. C. D.
18. 有五个数，每取两个数相加，加得10个和，再把这十个和相加得到的和是2064，原来五个数的和是（ ）。
A.516 B.2064 C.2068 D.7099
19. 王老师计划用448元买一些皮球，由于价格下降20%，则多买了16只皮球，原来每只皮球（ ）元。
A.6 B.7 C.8 D.10
20. 如右图的一块长方形耕地，其中三小块长方形面积分别为15、16、20，则阴影部分面积为（ ）。
A.10 B.11 C.12 D.13
三、解答下面各题
21.
22.
23. 某件商品以减去定价的5%卖出，可得5250元的利润；以七五折卖出就会亏1750元。这件物品的成本价是多少元？
24. 橘子若干，把其中的给甲，把比余下的少3个橘子给乙，再把剩下的给丙，这样丙比甲多21个，那一共有多少个橘子？
25. 一件工作，甲需20天完成，乙需30天才能完成。甲乙两人一起开始工作，期间甲休息了3天，乙也休息了几天，所以这件工作到第16天才完成，乙休息了几天？
26. 现有大小油桶40个，每个大油桶可装油5千克，每个小油桶可可装油3千克，大桶比小桶共多装油24千克，那么大小油桶各有多少个？
27. 甲、乙、丙同时从A地出发，到离A地18千米的B地，当甲到达B地时，乙两两人离B地分别还有3千米 和4千米，那么当乙到达B地时，丙离B地还有多少千米？
28. 有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步。甲每分钟跑360米，乙每分钟跑300米，丙每分钟跑210米。问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
29. 将200拆成两个自然数的和，其中一个是17的倍数，别一个是23的倍数，那么这两个自然数的积是多少？
30. 有一根6厘米长的绳子，它的一端固定在长2厘米、宽1厘米的长方形的一个顶点A处（如图），让绳子另一端C与边AB在同一条直线上，然后把它按顺时针方向绕长方形一周，绳子扫过的面积是多少？
31. 水池上装有甲、乙两水管，合开15小时注满水池。但单开甲管6小时，乙管8小时，只能装水池的，求甲乙两管单独开各需几小时注满全池？
32. 某小商店进了三种不同的果仁，所用的钱一样多。已知三种果仁的价钱分别是每手斤7元、8元和9元，若将三种果仁混合后再卖，那么混合后果仁的成本是每斤多少元？
33. 在一根木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份。如果沿着每条刻度线将木棍锯开段，木棍总共被锯成多少段？
34. 小红和小明参加一个联欢会，在联欢会中，小红看到不戴眼镜的同学是戴眼镜同学的2倍，小明看到的戴眼镜的同学是不戴眼镜的同学的，参加联欢会共多少人？
35. 某商品按定价卖出可得利润960元，若若定价的80%卖出，则亏损832元，问：商品的购入价是多少元？
