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［学习目标］
1. 了解总体、个体、样本及样本容量的含义，在此基础上会用三种方法计算n个数的平均数，理解样本的某种特性用来估计总体的某种特性是必要的，并会用样本的平均数去估计总体的平均数。
（1）平均数：平均数是度量一组数据波动大小的基准，在描述一组数据的集中趋势方面尤为重要。
（2）三种计算方法：
①如果有n个数；
②当一组数据各数较大时，将各数同时减去一个适当的常数a，得到另一组数据；
③加权平均数：在n个数据中，如果出现次，出现次，…，出现次，则这n个数的平均数为，在计算时以上三种方法灵活选择，以便减小计算量。
2. 理解众数、中位数的意义，并且会求一组数据的众数与中位数。
（1）众数是指在一组数据中，出现次数最多的数据；中位数是指将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（2）众数、中位数、平均数一样，均是从不同角度描述一组数据的集中趋势的特征数。
（3）一组数据的平均数、中位数是惟一的，而众数不一定唯一，一组数据的平均数，中位数，众数可能是同一个数据。
3. 理解方差、标准差的概念，掌握求法，会对数据波动情况进行比较。
（1）方差、标准差是衡量样本、总体的波动大小的特征数，明确对同类问题的两组数据，方差小的波动小，方差大的波动大。
（2）灵活应用方差的三个计算公式。
【典型例题】
例1. 一个球队所有队员身高如下（单位：cm）
178，179，181，182，176，183，176，180，183，175，181，185，180，184，问这个球队队员平均身高是多少（精确到1cm）？
解法1：利用平均数的公式计算：
解法2：建立新数据，再利用平均数简化公式计算。
取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据：
－2，－1，1，2，－4，3，－4，0，3，－5，1，＋5，0，4
∴
解法3：利用加权平均数公式计算：
解法4：建立新数据，再利用加权平均数公式计算：
∴
答：这个球队的平均身高是180厘米。
点拨：（1）平均数公式是一个计算平均数的基本公式，在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用这个公式。
（2）当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动，“解法2”可以减轻运算量，故此法比较简便，常数a通常取接近这组数据（大约估计）平均数的较“整”的数，以达到简化计算过程的目的。常数a的取法并不惟一，比如本例中取a＝181也可以作。
（3）当一组数据中有不少数重复出现时，可用加权平均数公式来计算平均数。
例2. 为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：33，25，28，26，25，31。如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为（ ）
A. 900个 B. 1080个
C. 1260个 D. 1800个
（2002年北京海淀区）
解：（个）
故选C。
点拨：此题系求平均数的应用题，只有求出了平均数才能求出45家总袋数。
例3. 为了了解一次初三数学升学成绩，从5000名学生的成绩中抽取的部分中，有1人得100分，2人得95分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。
（1）指出这个问题中的总体，个体，样本和样本容量；
（2）求样本的平均数。
解：（1）总体 5000名学生的数学升学成绩的全体；
样本 抽取的36名学生的数学升学成绩；
个体 每一名学生的数学升学成绩；
样本容量 36；
（2）
≈79（分）
即样本平均数约为79分。
点拨：在回答（1）中的总体、个体和样本时要注意完整。例如，总体不可叙述为5000名学生，其余类似；而回答样本容量时不要加入单位，而是纯的自然数。
例4. 某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年经验知道，鱼苗成活率95%，一段时间后准备打捞出售，第一次网出40条，称得平均每条重2.5kg；第二次网出25条，称得平均每条重2.2kg；第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8kg，请估计鱼塘中的鱼总重量约是多少。
解：三次称鱼的平均数为
总重量为
答：鱼塘中鱼的总重量约为24万千克。
点拨：这是一道与“市场经济”相联系的应用题，它体现了数理统计初步知识的应用价值。对于这类联系生活实际的应用题的解题方法，要注意重点掌握。
例5. 已知：的平均数为4，求的平均数。
解：∵，
，
∴，
∴
＝5
点拨：应注意平均数的相对值：当数据不同时，其平均数也不相同。
例6. 已知数据的平均数是10，求数据的平均数。
解：∵，
点拨：本例从一组数据的平均数，进一步来求另一组数据的平均数，不仅体现了计算的技巧，而且也深化了平均数的概念。
例7. 已知的平均数是。
证：∵，
∴
点拨：此题系平均数运算为主体的证明题，在解此类题时，要注意运算的整体性。
例8. 已知两组数的平均数分别是，求
（1）一组新数据的平均数；
（2）一组新数据的平均数。
解：（1）由题意，得
∴的平均数为
（2）的平均数为
点拨：此例与例6一样，也是整体运算一类题目，通过此类题目的练习可以提高应用“整体思想”求解的能力。
例9. 算得一次体育测验的初三全年级四个班的平均成绩分别是，于是一位同学断言：这一次测验全年级的平均成绩是，你同意这种说法吗？
解：不能这么立即断言，如果各班参加体育测验的学生数相等，即都是n，那么全年级的平均成绩是
但如果各班参加体育测验的学生数不都相等，那么上述等式不一定成立，很容易举出说明这一点的具体例子。
点拨：此例属探索性问题一类题目。要注意对此类问题的讨论与练习。
例10. 10名初中毕业生的中招体育考试成绩如下：
25 26 26 27 26 30 29 26 28 29
这些成绩的中位数是（ ）
A. 25 B. 26
C. 26.5 D. 30
（2000年河南）
解：上述数中中间两个数为26，27。
∴中位数为。故选C。
常见错误：概念不清楚，将中位数错认为众数而得出26，错选B是常见错误。
例11. 随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：
温度（x℃）
10
14
18
22
26
30
32
天数 t
3
5
5
7
6
2
2
请根据上述数据填空：
（1）该组数据的中位数是_____________℃；
（2）该市一年中日平均气温为26℃的约有_____________天；
（3）某日平均气温在17℃～23℃为市民“满意温度”，则该城市一年中达到市民“满意温度”的约有_____________天。
（2002年福州）
解：（1）中位数是22℃。
（2）一年中日平均气温为26℃的约有73天。
（3）一年中市民“满意温度”约有146天。
常见错误：（2）、（3）最容易产生错误。这是把一年365天错认为360天造成的。
例12. 已知一组数据－3，－2，1，3，6，x的中位数是1，求方差及标准差。
点悟：关键是求出x的值。因为偶数个数的中位数是这组数据按由小到大顺序排列后最中间两数的平均数，不论x取何值，1是最中间两数之一，而中位数又是1，故只能取x＝1。
解：由题意知x＝1，这组数据是－3，－2，1，3，6，1
，
∴
例13. 若样本的平均数为10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A. 平均数为10，方差为2
B. 平均数为11，方差为3
C. 平均数为11，方差为2
D. 平均数为12，方差为4
解：由已知条件，得
故选C。
点拨：此题充分应用了已知条件来进行整体计算，使运算十分简捷。
例14. 已知样本 的方差为，求样本的方差。
解：∵
∴
点拨：我们将例14推广，易得如下定理。
定理1：如果样本的方差。
证明：∵
，
∴
∴
下面运用上述定理解决实际问题。
例. 15已知样本的方差，求样本的方差。
解：由定理1，易得
点拨：由此可见，应用定理解决问题十分方便。
例16. 已知样本的方差为3，求样本的方差。
解法1：设样本的方差为p，根据已知的方差为。由定理1，得
∴样本的方差为：
解法2：∵样本可表示为：
，
∴。
点拨：将上述例6的解法2推广，我们又可得到一个定理。
定理2：如果样本的方差为p，那么样本的方差为。
证明：因为样本可表示为：
，
所以由定理1得其方差为
例17. 一组数据－1，－2，x，1，2，其中x是小于10的非负整数，且数据的方差是整数，求数据的标准差。
解：
又∵，
∴x＝0或5。
当，
当
点拨：本题充分利用整数的性质和方差与标准差之间的关系，进行沟通与解决问题。
例18. 某单位为了寻找高产稳产的油菜品种，选了3个不同品种进行试验。每一品种在5块试验田上试种，每块试验田的面积为0.8亩，产量情况如下表，试评定哪一种品种既高产又稳定。
品种
小区产量（千克）
1
2
3
4
5
1
10.8
10.2
11.0
10.6
9.9
2
10.7
11.8
9.5
10.7
9.9
3
8.9
11.7
10.7
9.6
10.5
解：先分别计算3个品种的样本平均数：
，
，
再计算3个品种的样本方差，由公式得：
，
可以看出最小，所以油菜品种1的5个偏差的差异不大，也就是5个小区的产量比较接近，因而它是稳定品种。又，虽然，但也很接近，所以油菜品种1也是高产品种。因此，油菜品种1是既高产又稳定的品种。
点拨：此题体现了平均数、方差计算在实际生活中的重要应用。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 某车间为了估计本月产量，抽查了两名工人的本月产量，一名老工人的产量为1000件，一名青年工人的产量是950件，这个问题中样本容量是（ ）
A. 2 B. 1000
C. 950 D. 1950
2. 要了解灯泡的使用寿命，从中随机抽12个进行试验，在这个问题中，这12个灯泡的使用寿命是（ ）
A. 总体 B. 个体
C. 总体的一个样本 D. 样本容量
3. 某人打保龄球，投球8次得分如下：
8，9，10，8，9，10，6，8
此人得分的中位数、平均数分别是（ ）
A. 8.5与8.5 B. 8与8.5
C. 8.5与9 D. 8与9
4. 如果一组数据2，a，4，6的平均数是5，那么数据a为（ ）
A. 8 B. 5 C. 4 D. 3
5. 数据70，71，72，73的标准差是（ ）
A. B. 2
C. D.
6. 计算样本12，8，11，9，10的方差得（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
7. 数据5，3，7，8，12的平均数是____________。
8. 已知一组数据9.87，10.12，10.06，9.93，10.00，10.08。若式子中，表示这组数据平均数，则＝____________。
9. 数据－2，－1，0，1，2平均数为____________，方差为____________，标准差为____________。
三、解答题
10. 某一路口汽车流量调查中，10天在每天同一时段里通过该路口的汽车辆数，结果如下：
167 183 209 195 178 204 215 191 208 197
（1）在这个问题中，总体，个体，样本，样本容量各指什么？
（2）求出样本平均数。
11. 某体育器材厂生产一批铅球，
重量（kg）
2.93
2.96
3
3.02
3.03
个数
4
12
10
8
6
求这组数据的中位数、众数、平均数。
12. 从甲、乙两种棉苗中各抽10株，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：（1）哪种棉花的苗长得高？
（2）哪种棉花的苗长得整齐？
【试题答案】
一、选择题：
1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B
二、填空题：
7. 7
8. 0.01
9. 0，2，
三、解答题：
10. 解：（1）总体是汽车在某一路口的流量，个体是每天同一时段里通过该路口的汽车辆数；样本是指10天中每天同一时段里通过该路口的汽车辆数，样本容量是10。
（2）
11. 解：中位数 3，众数 2.96
平均数
12. 解：（1）
∴
答：乙种棉花的苗长得高。
（2）
∴
答：甲种棉花长得整齐。
