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高中物理公式推导三
线圈切割磁感线的感生电动势公式推导
一、简单说明：
?
图（1） 线圈切割磁感线 图（2） 线圈切割磁感线 的俯视图，N、S分别表示T 的侧视图，虚线表示的是水平 型磁铁的北极、南极，中间 面，红线表示线圈。（T型磁 表示线圈。 铁部分忽略）
二、推导过程：
为了推导方便，我们用侧视图来推导。如图（3）所示，虚线的黑色圆圈表示线圈转动的
轨迹，红色虚线表示t时刻的位
置，红色实线表示t??t时刻的位 置。（磁场方向与水平面平行）
根据法拉第电磁感应定律：
线圈的感应电动势，与磁通量的
的变化量成正比，与发生该磁通 图（3） ?0 ?
量变化的时间成反比（或者说是磁通量的变化率）。即： E???
?t
对于线圈来说，t时刻的磁通量为：
?0?BSsin?0
t??t时刻的磁通量为：
??BSsin
磁通量的变化量为：
? ??????0
?BSsin??BSsin?0 ?BS?sin??sin?0?
?BS?2co???02si???0
2
若线圈是匀速转动，则有
?0??t
???(t??t) 故，磁通量的变化量可以写为： ???2BScos?(t??t)??t
2
??t
2sin?(t??t)??t2 ?2BScos(?t?)sin??t2
当?t很小时，
则有： sin??t2???t2
???BS??tcos(?t?
?t2)
将磁通量的变化量代入感应电动势公式，有 E???
?tBS??tcos(?t???t)
?t?t?BS?cos?(t?)2 ?BS?cos?t
这与课本上的公式有一点不同，课本上用的是sin?t，而此处得到的是cos?t。是我们的推导错了吗？不是的。对于sin?t和cos?t而言，只需把cos?t图像沿t轴左移（或者右移）?即可。也就是说，sin?t、cos?t的差异，只是因为2
我们选择参考面的不同而造成的。
这里做一点简单的说明：如果按图中取法，则我们的公式里面是cos?t；如果，取与水平面垂线方向的夹角的话，则我们应该用cos?t。不过，对于考试而言，一般不会涉及到这一点，我们用sin?t表示。
三、意外收获：
第一，在什么情况下，磁通量最大、最小的讨论。在磁场中，我们考虑的都是有效面积，也就是某平面在磁感线垂直面上的投影。故而，当线圈转到与磁感线方向平行时，磁通量最小，当转到与磁感线方向垂直时，磁通量最大。
第二，在什么情况下，磁通量变化最快、最慢的讨论。在线圈切割磁感线的运动中，只有和磁感线垂直方向的速度能够产生感生电动势，是故，当线圈平面和磁感线方向垂直时，线圈的线速度方向和磁感线方向垂直，产生的感生电动势最大，磁通量的变化也最快；当线圈平面和磁感线方向平行时，线圈的线速度方向和磁感线方向平行，产生的感生电动势最小，磁通量的变化也最慢。
可以用一个图表做一个简单的总结：
说明：本章推导，中间用到的公式，都用框圈出，此处不再讨论。
