爱华网2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清．．．．
晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描．．．
清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．稿纸上答题无效。 ．．．．．．．
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么
P（A+B）= P（A）+ P（B） P（A·B）= P（A）·P（B）
第I卷（选择题共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数。若z?1?i,则
A．?2 B．?2i C．2 D．2i
2．“x?0”是“ln(x?1)?0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 z?i?z?（ ） i
?x?t?1线l的参数方程是?，（t为参数），圆C的极坐标方程是??4cos?，则直线l被圆C截得y?y?3?
的弦长为（ ）
A． B．2 C．2 D．22
?x?y?2?0?5．x,y满足约束条件?x?2y?2?0，若z?y?ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
?2x?y?2?0?
（ ）
11或?1B．2或C．2或1 D．2或?1 22 6．设函数f(x)(x?R)满足f(x??)?f(x)?sinx，当
23?0?x??时，f(x)?0，则f()?（ ） 6
11A．B．C．0 D．? 2 22 A．7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A
．21 B
．18 C．21 D．18
8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60?的共有（ 7 题图 ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
9．若函数f(x)?x??2x?a的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．?1或5 C．?1或?4 D
．?4或8
10．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a,b,a?b?1,a?b?0,点Q满OQ?a?b)。曲线C?{P|OP?acos??bsin?,0???2?}，区域??{P|0?r?|PQ|?R,r?R}。 若C??为两段分离的曲线，则( )
A．1?r?R?3 B．1?r?3?R C．r?1?R?3 D．1?r?3?R
（在此卷上答题无效）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. ．．．．．．．．．．．．．．
二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．若将函数f?x??sin?2x??
????的图像向右平移?个单位，所得图像关于y轴对称， 则?的最4?
小正值是________. 12．数列{an}是等差数列，若a1?1,a3?3,a5?5构成公比为q的等比数列，则q? ________。
?x?13．设a?0,n是大于1的自然数，?1??的展开式为 ?a?
a0?a1x?a2x2???anxn。若点Ai(i,ai)(i?0,1,2) 的位置如图所示，则a?______。 2ny2
14．设F1,F2分别是椭圆E:x?2?1(0?b?1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两b
E的方程为______ ____。 点，若AF1?BF1,AF2?x轴，则椭圆
15．已知两个不相等的非零向量a,b，两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a
和3个b排列而成。记S?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值。则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）。
①S有5个不同的值。
②若a?b则Smin与|a|无关。
③若ab则Smin与|b|无关.
④若|b|?4|a|，则Smi n?0。
⑤若|b|?2|a|,Smin?8|a|2，则a与b的夹角为? 4
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
16．（本小题满分12分）设?ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b?3,c?1,A?2B. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin(A??
4)的值。
21，乙获胜的概率为，各局比3317．（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为
赛结果相互独立。
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）。
18．（本小题满分12分）设函数f(x)?1?(1?a)x?x2?x3其中a?0。
（Ⅰ）讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x?[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值。
19．(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线E1:y?2p1x?p1?0?和E2:y?2p2x?p2?0?， 22
过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1,E2分别交于A1,A2两点，l2与E1,E2分别交于B1,B2两点。 （Ⅰ）证明：A1B1//A2B2;
（Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1,E2分别交于C1,C2两点。
S1的值。 S2
20．(本题满分13分)如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A?底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD//BC,且AD?2BC.过A1,C,D三点的平面记为?，Q为BB1（Ⅰ）证明：BB1与?的交点为Q。记?A1B1C1与?A2B2C2的面积分别为S1与S2,求
的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面?所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若A1A?4，CD?2，梯形ABCD的面积为6，求
平面?与底面ABCD所成二面角大小。
21．（本小题满分13分）设实数c?0，整数p?1，n?N。
（I）证明：当x??1且x?0时，(1?x)?1?px；
（II）数列?an?满足a1?c，an?1?1
pp*p?1c1?pan?an， pp
证明：an?an?1?c
1p
。
参考答案
z1?i?i?z??i?(1?i)??(i?1)?(i?1)?2 ii
2．答案：B，解析：ln(x?1)?0?0?x?1?1??1?x?0，所以“x?0”是“ln(x?1)?0”
1．答案：C，解析：的必要而不充分条件。 3．答案：B，解析：
55?50，故运算7次后输出的结果为55。
4．答案：D，解析：将直线l方程化为一般式为：x?y?4?0，
圆C的标准方程为：(x?2)2?y2?4， 圆C到直线l
的距离为：d?
?
∴弦长L?。
5．答案：D，解析：画出约束条件表示的平面区域如右图， z?y?ax取得最大值表示直线z?y?ax向上平移移动最大，
a表示直线斜率，有两种情况：a??1或a?2。
6．答案：A，解析：
f(
23?17?17?
)?f()?sin666
11?11?17??f()?sin?sin
666
5?5?11?17??f()?sin?sin?sin
66661111?0????
2222
7．答案：A，解析：如右图，将边长为2的正方体截去两个角，
1?1?1?2??2?21?24
8．答案：C，解析：与正方体一条对角线成60的对角线有4条，
∴S表?2?2?6?
∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的 角为60?的共有4?12?48（对）。 9．答案：D，解析：
x??1??3x?a?1,
?
??x?a?1,?1?x??aa
（1）当a?2时，?1??，此时f(x)??2；
2?a
?3x?a?1x???2
a??3x?a?1,x???2?a （2）当a?2时，?1??，此时f(x)?? ax?a?1,??x??12?2??3x?a?1x??1
aa 在两种情况下，f(x)min?f(?)?|??1|?3，解得a??4或a?8。 22
a注：此题也可以由绝对值的几何意义得f(x)min?|??1|?3，从而得a??4或a?8。 2
10．答案：A，解析：设a?(1,0),b?(0,1)则OP?
(cos?,sin?)，OQ? 所以曲线C是单位元，区域?为圆环（如右图）
∵|OQ|?2，∴1?r?R?3。
3?11．答案：， 8??解析：f(x??)?sin[2(x??)?]?sin(2x??2?) 44
???k?3?,(k?Z)，当k??1时?min? ∴?2???k?,(k?Z)，∴????。 42828
12．答案：q?1，
解析：∵{an}是等差数列且a1?1,a3?3,a5?5构成公比为q的等比数列， ∴(a1?1)(a1?4d?5)?(a1?2d?3)2即(a1?1)[(a1?1)?4(d?1)?[(a1?1)?2(d?1)]2 令a1?1?x,d?1?y，则有x(x?4y)?(x?2y)2，展开的y?0，即d?1?0，∴q?1。
13．答案：a?3，解析：由图易知a0?1,a1?3,a2?4 ?n?3?11?a122 ∴Cn??3,Cn?()?4，∴?，解得a ?3。 n(n?1)aa??4??2a2
32214．答案：x?y?1， 2
5c12解析：由题意得通径AF2?b2，∴点B坐标为B(?,?b) 33
?22122b?(?b)?5c2?322b?1?c将点B坐标带入椭圆方程得(?)?，又，解得 ?1?13b2?c2??3?
322∴椭圆方程为x?y?1。 2
15．答案：②④，
解析：S有下列三种情况：
222222222S1?a?a?b?b?b,S2?a?a?b?a?b?b?b,S3?a?b?a?b?a?b?a?b?b
22∵S1?S2?S2?S3?a?b?2a?b?(a?b)?|a?b|?0， ∴Smin?S3， 22
若a?b，则Smin?S3?b，与|a|无关，②正确； 若ab，则Smin?S3?4a?b?b，与|b|有关，③错误；
若|b|?4|a|，则Smin?S3?4|a|?|b|cos??|b|??4|a|?|b|?|b|??|b|?|b|?0，④正确；
222
若|b|?2|a|,Smin?8|a|，则Smin?S3?4a?b?b?8|a|cos??4|a|?8|a|
2
2
2222
2
2
∴cos??
1?
， ∴??，⑤错误。 23
16．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）∵A?2B，∴sinA?sin2B?2sinBcosB，
a2?c2?b2 由正弦定理得a?2b?
2ac
∵b?3,c?
1，∴a2?12,a?
b2?c2?a29?1?121
???， （Ⅱ）由余弦定理得cosA?
2bc63
由于0?A?
?，∴sinA???，
3
???14?故sin(A?)?sinAcos?cosAsin?。 ?(?)??
44432326
17．（本小题满分12分）
解析：用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， Ak表示“第k局甲获胜”， Bk表示“第
21
,P(Bk)?,k?1,2,3,4,5 33
（Ⅰ）P(A)?P(A1A2)?P(B1A2A3)?P(A1B2A3A4)
?P(A1)P(A2)?P(B1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(B2(A3)P(A4)k局乙获胜”，则P(Ak)?
22122212256
??????????33333333381
（Ⅱ）X的可能取值为2,3,4,5
P(X?2)?P(A1A2)?P(B1B2)?P(A1)P(A2)?P(B1)P(B2)?
5 9
2 9
1081
P(X?3)?P(B1A2A3)?P(A1B2B3)?P(B1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(B2)P(B3)?
P(X?4)?P(A1B2A3A4)?P(B1A2B3B4)?P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)?P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)?
P(X?5)??1PX(?
故X
?2P)X?(
8
?P3)X?(? )
81
∴EX?2?
52108224?3??4??5?? 99818181
18．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,??)，f'(x)?1?a?2x?3x2 令f'(x)?
0得x1??1??1?x2?x1?x2 33
所以f'(x)??3(x?x1)(x?x2)
当x?x1或x?x2时f'(x)?0；当x1?x?x2时f'(x)?0 故f(x)在(??,x1)和(x2,??)内单调递减，在(x1,x2)内单调递增。 （Ⅱ）∵a?0，∴x1?0,x2?0
（1）当a?4时x2?1，由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]上单调递增 ∴f(x)在x?0和x?1处分别取得最小值和最大值。
（2）当4?a?0时，x2?1，
由（Ⅰ）知f(x)在[0,x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减
处取得最大值 又f(0)?1,f(1)?a
∴当1?a?0时f(x)在x?1处取得最小值
当a?1时f(x)在x?0和x?1处同时取得最小值
当4?a?1时，f(x)在x?0取得最小值。 ∴f(x
)在x?x2?
19．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：设直线l1,l2的方程分别为y?k1x,y?k2x,(k1,k2?0)，则 由??y?k1x?y?k1x2p12p12p22p2得；由得A(,)A(,) ?212222y?2pxk1k1k1k1?1?y?2p2x
2p12p12p22p2，,)B(,) 222k2k2k2k2
2p2p2p2p1111所以A1B1?(21?21,1?1)?2p1(2?2,?) k2k1k2k1k2k1k2k1
2p2p2p2p1111A2B2?(22?22,2?2)?2p2(2?2,?) k2k1k2k1k2k1k2k1
p故A1B1?1A2B2，所以A1B1∥A2B2。 p2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1C1∥B2C2，AC1B1∥A2B2，同理可得B11∥A2C2 同理可得B1( 所以?A1BC11∽?A2B2C2，因此S1|AB|?(11)2 S2|A2B2|
|A1B1|p1p1S1p12?A2B2知 又由（Ⅰ）中的A1B1?，故。 ?p2S2p22|A2B2|p2
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：∵ BQ//AA1,BC //AD,BC
∴平面QBC∥平面A1AD
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D 故?QBC与?A1AD的对应边相互平行，于是?QBC∽?A1AD BQ=B,ADAA1?A
BQBQBC1???，即Q为BB1的中点。 BB1AA1AD2
（Ⅱ）解：如图，连接QA，QD。设AA1?h，梯形ABCD的高为d， ∴
四棱柱被平面?所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，
BC?a，则AD?2a。
111??2a?h?d?ahd， 323
1a?2a11VQ?ABCD???d?(h)?ahd 3224
7ahd ∴V下?VQ?A1AD?VQ?ABCD?图1 12
33711ahd?ahd 又VA1B1C1D1?ABCD?ahd，∴V上?VA1B1C1D1?ABCD?V下?ahd?221212
V11 故上? V下7 VQ?A1AD?
（Ⅲ）解法1：如图1，在?ADC中，作AE?DC，垂足为E，连接A1E
AA1?A
∴DE?平面AEA1，∴DE?A1E
∴?AEA1为平面?和平面ABCD所成二面角的平面角。
∵BC //AD，AD?2BC， ∴S?ADC?2S?ABC
又∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S?ADC?4，AE?4 AA1??1，?AEA1?, 于是tan?AEA1?AE4
?故平面?和底面ABCD所成二面角的大小为。 4
解法2：如图2，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向，建立空间直角坐标系。 设?CDA?? 24a?2a,0,4) ?2sin??6，所以a?因为VABCD?，从而C(2cos?,2sin?,0)，A1(sin?sin?2
设平面A) 1DC-牛bb文章网-的法向量为n?(x,y,1 又DE?AA1，且AE
4?DA?n?x?4?0?1sin?由?得x??sin?,y?cos?
?DC?n?2xcos??2ysin??0?
所以n?(?sin?,cos?,1)
又平面ABCD的法向量
m?(0,0,1) 所以cos?m,n??m?n ?|m|?|n|2
故平面?和底面ABCD所成二面角的大小为
21．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：用数学归纳法证明 ?。 4
（1）当p?2时，(1?x)2?1?2x?x2?1?2x，原不等式成立。 （2）假设p?k(k?2,k?N*)时，不等式(1?x)k?1?kx成立 当p?k?1时，(1?x)k?1?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)
?1?(k?1)x?kx2?1?(k?1)x
所以p?k?1时，原不等式成立。
综合（1）（2）可得当当x??1且x?0时，对一切整数p?1，不等式(1?x)p?1?px均成立。 （Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明an?c。
（1）当n?1时由假设a1?c知an?c成立。 （2）假设n?k(k?1,k?N*)时，不等式ak?c成立
1
p
1p
1p1p
p?1c1?p
an?an易知an?0,n?N* ppap?1c?p1c
当n?k?1时k?1??ak?1?(p?1)
akpppak
由an?1?
11c
?(?1)?0 ppakpap1c1ccp
由（Ⅰ）中的结论得(k?1)?[1?(p?1)]?1?p?(p?1)?p
akpakpakak
由ak?c?0得?1??因此akp?1?c，即ak?1?c
所以当n?k?1时，不等式an?c也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式an?c均成立。 再由
1
p
1p
1p
1p
an?1a1c
?1?(p?1)得n?1?1，即an?1?an anpanan
1
p
综上所述，an?an?1?c,n?N*
p?1c
证法2：设f(——http://www.niubb.net/——x)?x?x1?p,x?cp，则xp?c，并且
pp
p?1cp?1c
f'(x)??(1?p)x?p?(1?p)?0，x?cp
pppx
由此可见，f(x)在[c,??)上单调递增，因而当x?c时f(x)?f(c)?c。 （1）当n?1时由a1?c?0，即a1?c可知
1
p
p
1p
1p1
1
1p1p
a2?
p?1c1c
a1?a11?p?a1[1?(p?1)]?a1， pppa1
1
p
1p
并且a2?f(a1)?c，从而a1?a2?c
故当n?1时，不等式an?an?1?——网络日记——c成立。
（2）假设n?k(k?1,k?N*)时，不等式ak?ak?1?c成立，则
当n?k?1时f(ak)?f(ak?1)?f(c)，即有ak?1?ak?2?c， 所以当n?k?1时原不等式也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等式an?an?1?c均成立。
1p1p1p1p1p
