爱华网数学文化在线 2016-02-22 18:50
研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．
1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
一、直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>0?直线与圆锥曲线相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线相切；
Δ<0?直线与圆锥曲线相离．
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
典型例题1：
二、圆锥曲线的弦长问题
典型例题2：
1、解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．
(1)、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；
(2)、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
2、在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)、利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)、利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)、利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)、利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
典型例题3：
1、求定值问题常见的方法有两种
(1)、从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；
(2)、直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2、定点的探索与证明问题
(1)、探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；
(2)、从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
典型例题4：
【作者：吴国平】
