爱华网线面的位置关系
二. 知识总结：
直线与平面的位置关系
1. 直线在平面内——直线与平面有无数个公共点
2. 直线在平面外
（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点
① 直线与平面直交（垂直）
② 直线与平面斜交（不垂直）
（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点
（一）直线与平面平行的判定和性质
1. 判定依据
（1）线面平行的定义
（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）
（3）面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
2. 判定方法
（1）证明这直线与这平面没有公共点
（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行
（3）证明这直线所在平面与这平面平行
（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等
3. 性质
（二）直线和平面垂直的判定和性质
1. 知识提要
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。
（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（3）两两平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2. 方法提要：判定直线垂直平面的方法
（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直
（2）证明这直线与平面的一条垂线平行
（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线
（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行
（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线
【典型例题】
[例1] 已知：正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且BM=AN，求证：MN//平面CED。
证明：连结AM并延长交CD于G，连结GE
由AB//CD
[例2] 设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：SA//平面PQR。
证：如图，设，则O为AC的中点，连结SO
设，由
取SC中点M，连结OM、KP
由
[例3] 正三棱柱中，。D、F分别为CC1，A1B中点
（1）证明：DF//平面ABC；
（2）证明：AF⊥BD；
（3）求平面A1BD与ABC所成的锐二面角
（1）证明：取AB中点M，连FM、CM
（2）证明：
（3）法1：
法2：延长AC交A1D延长线于G，连BG，由CG=AC=BC
又AA1⊥面ABC为所求二面角平面角
[例4] 如图，在正三棱柱中，，求证：，。
证法1：如图，延长B1C1到，使，连结，则
在中，由
同理
证法2：（利用三垂线Th及其逆Th）
如图，取AB的中点为D，A1B1的中点为D1，则BD1//A1D
同理面A1B1BA
，同理A1C⊥BC1
[例5] 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，且PA=AB，C是圆周上一点（异于A、B），E是PB的中点，F是PC上的点，且AF⊥PC，求证：PB平面AEF。
证：
[例6] 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC于F。
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。
证明：（1）由已知，SA⊥平面AC
（2）证明：
[例7] 斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成角，求异面直线与BC的距离。
解：由在面ABC上的射影H在的平分线上
连AH延长交BC于D，则AD是的平分线
作DE⊥AA1于E，则DE即异面直线AA1与 BC的公垂线段
又由
∴
∴ 在中，
即与BC的距离为
[例8] 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG距离。
解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC
设，
到面EFG的距离与点B到面EFG距离相等点O到面EFG的距离与B到面EFG的距离相等
由
由GC=2，
，则
另法（体积变换）
解法2：设点B到面EFG的距离为，则为三棱锥B－EFG的高，由三棱锥与三棱锥为同一四面体，故它们体积相等，即：
而
故
所以，点B到平面EFG的距离为
小结：点到面的距离有直接和间接两类方法，直接法即作出点面垂线段并求它的长；而间接法是把点面距离看成一个几何体的高，再利用体积变换方法求出这个高的值，通常情况下，由于间接法无需确定垂足的位置，因此较为简便。
[例9] 如图，四棱锥中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为重心，则PG与底面所成角为（ ）
A. B. C. D.
解：如图，由G为的重心，则为所求，，，，则，即，选B。
[例10] 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与所成的角都是的直线有且仅有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：把直线分别平移至经过点P，即：过点P分别作直线，，如果，则取；如果，则取。这时，与相交于点P所成的两组对顶角分别等于和，记与所确定的平面为，那么，在平面内，过点P不存在与都成的直线。
过点P且与都成角的直线，必在面外且在内的射影必然平分所成的对顶角，这样的直线有且仅有2条，它们关于对称，所以，过点P与都成角的直线有且仅有2条，故选B。
若不变，将改为则答案A；若不变，将改为度，则答案为C；若不变，将改为，则答案为D。
[例11] 如图，斜三棱柱的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=，侧棱与底面成，，求与底面所成的角。
解：由AC⊥AB，AC⊥面面面ABC，故在底面ABC上的射影即AB所在直线。
过作交AB延长线于点O，连CO，则分别是与底面所成的角
∴ ，令，则，在中，
在中，由，
即
（舍）与底面所成角为
注：线面角取值范围，关键找到直线在面上的射影，一般先找斜足，再找线上非斜足一点P在该平面内射影，连转化为平面角。
[例12] 三棱锥中底面ABC为边长为的正三角形，PA、PB与底面均成角，PC与底面成角，求其体积。
解：设M是AB中点，由PA与PB与底面均成角，故PA=PB
面PCM面ABC⊥PCM
作PH⊥CM于H，则PH⊥底面ABC
则，，设，则
又
∴
∴ 或
当时，H=M ，
当时，，PH=，V=
【模拟试题】
一. 选择题
1. 两条直线与平面所成的角相等，则的位置关系（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能
2. 空间两条直线平行的充分条件是（ ）
A. 平行于同一平面 B. 垂直于同一条直线
C. 与同一平面所成的角相等 D. 分别垂直于两个平行平面
3. 如果AP、BP、CP两两垂直，则P在平面ABC内的射影一定是△ABC的（ ）
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
4. 下列命题中不正确命题的个数是（ ）
（1）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
（2）过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直；
（3）过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直；
（4）若异面，过一定可作一个平面与b垂直。
（5）若异面，过不在上的点M，一定可以作一个平面与a、b都垂直
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成的角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1、AB上的点，且∠NMC1=90°，则∠NMB1的大小是（ ）
A. 大于90° B. 小于90° C. 90° D. 不能确定
7. 已知PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、BB1的中点，则EF与对角面ACC1A1所成角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 150°
9. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中，正确的是（ ）
A. 有且仅有一条直线与a、b都垂直；
B. 有一个平面与a、b都垂直；
C. 过直线有且仅有一个平面与b平行；
D. 过空间任意一点必可作一条直线与a、b都相交。
10. 已知直线不在平面内，那么下列命题正确的个数为（ ）
（1）若不平行于，则不平行于内的任何直线；
（2）若平行于，则平行于内的所有直线；
（3）若平行于，则与垂直的任何直线与平面垂直；
（4）若垂直于内无数条直线，则必有⊥。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，D是EF的中点，现沿AE、AF和EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合，重合后变为G点，则四面体A—EFG中必有（ ）
A. AG⊥平面EFG B. AD⊥平面EFG
C. GF⊥平面AEF D. GD⊥平面AEF
12. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，则点E到AC边的距离为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题
13. 已知P是△ABC所在平面外一点，O是P在平面ABC内的射影。若PA=PB=PC，则点O是△ABC的 。
14. 已知直线是平面的斜线，，与b所成的角为60°，b与在内的射影所成的角为45°，则与所成的角为 。
15. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且PA⊥平面ABC，则点P到BC的距离为 。
16. 已知A、B、C、D四点不共面，则与这四个点距离都相等的平面有 个。
17. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是 。
18. 直角三角形的斜边AB在平面内，AC和BC与所成角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与所成的角为 。
19. 已知正方形ABCD—A1B1C1D1棱长为，E是CC1中点，则BE与平面B1BD所成的角的余弦值是 。
20. Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥，梯形ACDE，AC//DE，BE⊥AE，且AC=2，DE=1，则异面直线AE和BC的距离是 。
【试题答案】
一. 选择题
1. D
2. D
提示：利用线面垂直的判定定理和性质定理。
3. A
4. D
提示：从（1）—（5）命题中，只有（3）为真命题，其余均为假命题。
5. B
提示：利用最小角定理和直线与平面所成角的范围为可得。
6. C
提示：利用三垂线定理的逆定理。
7. D
提示：如答图1，作CO⊥面PAB于O，连结PO
由∠CPA=∠CPB=60°，则PO为∠APB的平分线，∠APO=30°，∠CPO为所求线面角，由例4给出的关系式，有
图1
8. A
提示：如答图2，作FG//BD交AC于G，由BD⊥面ACC1A1，则FG⊥面ACC1A1，连结GE，则∠FEG为EF与对角面ACC1A1所成的角。设正方体棱长为，则，，在Rt△FGE中，，故∠FEG=30°，选择A。
图2
9. C
提示：在上任取一点P，过P作，设与所确定的平面为，由，，则，可以证明这样的平面是惟一的。事实上，假设过有平面满足，则根据例2的结论，直线b平行于与的交线，即，这与异面矛盾。
10. B
提示：只有（1）是正确的。由不平行于，又不在内，则与相交，因此不平行于内的任何直线。
11. A
提示：AG⊥GF，且AG⊥GE，则AG⊥平面EFG。
12. D
提示：如答图3，作DF⊥AC于F，连结EF，则EF⊥AC，即EF为E到AC的距离。
由Rt△CFD～Rt△CBA，
图3
二.
13. 外心
提示：利用射影长Th
14. 45°
提示：利用例4已证的公式，设与所成的角为，则，因此
15.
提示：取BC中点M，连AM、PM，则由
，故PM为P到BC的距离
16. 7
提示：当平面的一侧有一点而另一侧有三点时，满足条件的平面有4个；当平面的两侧各有两个点时，满足条件的平面有3个。因此，与A、B、C、D四点距离都相等的平面共有4+3=7个。
17.
提示：作B1E⊥A1B于E，则B1E⊥平面A1BCD1，即B1E为直线B1C1与平面A1BCD1的距离。在
18. 60°
提示：如答图4，作CO⊥于O，∠CAO=30°，∠CBO=45°，∠CDO为CD与所成的角，设CO=x，则AC=2x，BC=，在Rt△ACB中
在Rt△COD中，，即∠CDO=60°
图4
19.
提示：如答图5，取F为AA1的中点，连结EF
设EF交OO1于M，则M为OO1中点，则∠EBM1为BE与平面B1BD所成的角
在Rt△EBM中，，则
图5
20.
提示：如答图6
故CE为异面直线BC与AE的公垂线段
由DE=1，AC=2，∠DCA=90°，∠CEA=90°，则
图6
