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中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半；梯形中位线定理是指梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三角形中位线定理_中位线定理 -概念
（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
三角形中位线定理_中位线定理 -注意
中位线定理
（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
（3）两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
（4）三角形有三条中位线，首尾相接时，小三角形面积等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。
三角形中位线定理_中位线定理 -定理
中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
三角形中位线定理_中位线定理 -证明
中位线定理
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
方法一：几何法
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE（A.S.A)
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
方法二：坐标法
设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）2
另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）
这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
方法三
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE(S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
方法四：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2
∴DE//BC且DE=BC/2
三角形中位线定理_中位线定理 -例题
中位线定理
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：DE∥BC DE=1/2 BC
证明：延长DE至F，使EF=DE 连接CF
在△ADE和△CFE
AE=CE（已知),∠AED=∠CEF(对顶角相等）,DE=EF(已作）
∴△ADE≌△CFE（SAS)
∴AD=CF（全等三角形对应边相等）
∠ADE=∠F（全等三角形对应角相等）
∴BD∥CF（内错角相等，两直线平行）
∵AD=BD
∴BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC, DF=BC
DE∥BC, DE=1/2 BC
