爱华网微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
中值定理_中值定理 -概述
函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
中值定理_中值定理 -应用
（一）对于不等式与等式证明中的应用
在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。已知有这样一个推论，若函数
中值定理在区间I上可导，且
中值定理，则
中值定理为I上的一个常量函数。它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线。这个推论的证明应用拉格朗日中值定理。
（二）关于方程根的讨论（存在性与根的个数）
中值定理
（三）在洛比达法则中证明的应用
无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为
中值定理型或
中值定理型不定式极限。解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则。这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。
（四）定理之间的关系应用
在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地，在以后的学习中还会有其他的应用，再做更为全面的总结。
中值定理_中值定理 -拉格朗日中值定理
拉格朗日，法国数学家、物理学家，19岁时就当上了教授，20岁为普鲁士科学院院士。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献。
中值定理
该定理的证明不难，关键是构造一个辅助函数，这里就不作证明了，只给出它的几何说明：
将代数语言 翻译成几何图形语言：
1.
中值定理在
中值定理上连续； ------曲线是连续的、光滑的、不间断的。
2.
中值定理在
中值定理上可导； ------ 曲线上点点切线都存在（除端点外，处处具有不垂直于X轴的切线）曲线在几何图形上表现为圆弧的，顺的，没有尖点。
中值定理
满足条件1，2的这样一条曲线过两端点的割线存在，其斜率
中值定理。割线存在，可以经过平移，可平移到与曲线相切的位置，切点为
中值定理，其中
中值定理这样的 点是存在的。
此时切线与原割线平行，斜率相同 ：
中值定理即结论。
定理中至少存在一点
中值定理， 如果向下平移，图中就有两个这样的点，也有可能3、4、5…个
中值定理_中值定理 -罗尔定理
设
中值定理在闭区间［a，b］ 上连续， 在开区间（a，b）内可导，且
中值定理，则至少存在一点
中值定理，使
中值定理
证明：因
中值定理在［a，b］上连续，据闭区间上连续函数最大值和最小值定理，
中值定理在［a，b］上必取得最大值M和最小值m，这样有两种可能的情形：
（1） M=m，这时
中值定理， 所以
中值定理故：
中值定理都有
中值定理，定理成立。
（2） M >m，这时M和m中至少有一个不等于
中值定理。不妨设M
中值定理，则至少存在一点
中值定理使
中值定理
中值定理_中值定理 -柯西中值定理
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
中值定理
1.柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义。只是现在要把
中值定理，
中值定理这两个函数写作以x为参数的参量方程
中值定理在uov平面上表示一段曲线（图）。
中值定理
由于（1）式右边的
中值定理表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而（1）式左边的
中值定理则表示该曲线上与
中值定理相对应的一点
中值定理处的切线的斜率。因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行。
2.a>b时，Cauchy中值定理的结论仍成立。
3.如果取函数
中值定理，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求
中值定理）；Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。
中值定理_中值定理 -参考文献
[1]刘广云：《数学分析选讲》 黑龙江教育出版社2000年
[2]齐民友：《微积分学习指导》 武汉大学出版社 2004年
[3]赵树原：《微积分》 中国人民大学出版社2001年
