爱华网正定矩阵是数学计算的一种，正定矩阵在相似变换下可化为标准型，即单位矩阵。计算方式设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)都有XMX^t>0，就称M正定。在代数中，正定矩阵(英文：positive definite matrix)有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。一个n×n的实对称矩阵M是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz>0。其中z*表示z的共轭转置。由于M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。
正定矩阵_正定矩阵 -基本定义
广义定义
正定矩阵
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z'Mz>0，其中z'表示z的转置，就称M正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
狭义定义
一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz>0。其中z'’表示z的转置。
正定矩阵_正定矩阵 -特征及性质
正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
