傅里叶变换的应用傅里叶变换傅里叶变换-傅里叶变换，傅里叶变换-应用-爱华网

一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。积分 (1)称为? 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数?，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把?表示成所谓傅里叶积分的方法。

傅里叶变换_傅里叶变换 -傅里叶变换

傅里叶变换_傅里叶变换 -应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱――显示与频率对应的幅值大小）。

傅里叶变换_傅里叶变换 -正文

一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。积分

(1)

称为?的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数?，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把?表示成所谓傅里叶积分的方法。设?(x)是(-l,l)上定义的可积函数，那么在一定条件下，?(x)可以用如下的傅里叶级数来表示：

(x∈(-Л, Л)), (2)

式中

。 (3)

把(3)代入(2)，即有

式中un＝nπ/l(n=1,2,…)；
。当l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为

。 (4)

这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从?得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于?(x)。
傅里叶积分的收敛判别法类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见,假定?是连续的。① 迪尼判别法假如对于某个h>0，积分

，

那么?的傅里叶积分(1)在点x收敛于?(x)。
② 狄利克雷-若尔当判别法如果函数?在含有点x的某区间,例如(x-h,xh)上分段单调,则?的傅里叶积分在点x收敛于?(x)。
傅里叶积分的复数形式傅里叶积分(1)中的内层积分
是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成

。 (5)

另一方面，积分
是u的奇函数,所以形式上，积分

， (6)

合并(5)与(6)，利用公式e=cosθ＋isinθ，即得

(7)

最后的积分称为?的傅里叶积分的复数形式。
傅里叶变换与傅里叶逆变换(7)中内层积分

， (8)

称为?的傅里叶变换,记为

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