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完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是正数。而一个完全平方数的项有两个，即互为相反数的一对数。
完全平方数_完全平方数 -完全平方数
完全平方数（一）完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：
完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：
奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：
完全平方数如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，於是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：
偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：
奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：
平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：
不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。性质8：
平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。除了上面关於个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对於n位数，也可以仿此法予以证明。
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：
为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。证明 充分性：设b为平方数，则
==(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：
如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：
在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数。
性质13：
一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
完全平方数_完全平方数 -重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
完全平方数_完全平方数 -讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等於2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
2.求k的最大值
个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和
完全平方数的因数个数一定是奇数。
完全平方数_完全平方数 -两者区别
平方式和完全平方数的区别
（a+b）的平方=a的平方+2ab+b的平方
（a-b）的平方=a的平方-2ab+b的平方
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。
完全平方数_完全平方数 -范例
例1 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m2⑴
x+44=n2⑵
（m,n为自然数）
⑵-⑴可得:
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。
例2 求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.
这时，
(n-1)n(n+1)(n+2)+1=…①
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解为，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以[n(n+1)-1]为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。
例3 求证：11,111,1111，11111……这串数中没有完全平方数。（1972年基辅数学竞赛题。
解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则，其中n、k为正整数。
但，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。
当该串数中存在末尾为9的数的平方时，则，其中n、k为正整数。
但，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。
解2：完全平方数除以四余数为0或1，而根据除以四余数性质（一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数）可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。
例4 用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3|600∴3|A
此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
例5 试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）
故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除，又因为(a+b)≤18
所以a+b=11，
带入上式得四位数=11×（a×100+（11－a））=11×（a×99+11）=11×11×（9a+1)
故9a+1必须为完全平方数。由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得，9a+1=19、28、27、46、55、64、73。所以有a=7一个解；此时b=4。因此四位数是7744=112×82=88×88。
例6 求满足下列条件的所有自然数：
⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N-5或11|N+6
或
n=1不合
n=21369
n=334812601
n=465615329
n=59025
所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
例7 矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。
解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数
所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因为A+B≤18
故A+B=11
易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10
验证得该数64
所以A=7,B=4，则四位数是7744
例8 求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
