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黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说,黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一,而且与众多的现代数学分支有紧密联系,如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、自守函数等。

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单值解析函数的反函数可以是多值的。例如,幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数,它们都是多值的。另外,从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓,最后可能得到不同的元素。因此,完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时,人们先把它分解为一个个单值解析分支,然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。
为研究
,把扩充的复平面沿正实轴割开,记为  

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