贝叶斯定理 贝叶斯定理公式

美国篮球职业联赛（NBA）
的“赌神”哈若拉波斯·鲍勃·乌尔加利
斯住在美国洛杉矶好莱坞山上的一座
富丽堂皇、极富现代感的豪宅里，房
子外部由金属和玻璃构造，房后还有
一个游泳池，这里美得就像戴维·霍
克尼油画中的景象。每年从 11 月到
来年 6 月，乌尔加利斯每晚都会观看
NBA，每次看 5 场，分别由 5 台三星
纯平电视机同时播放（就连直播电视
公司也没见识过这种场面）。需要暂
作休整时，乌尔加利斯会跑到拉斯韦
加斯“棕榈树广场度假酒店”，在自己
的公寓房中小住几日。如果需要放个
长假，他就会跑到非洲来个徒步旅
行。即使年景比较差的时候，乌尔加
利斯差不多也能赚上 100 万美元，年
景好的时候，赚上三四百万美元也不
成问题。
乌尔加利斯很享受这种高品质的
生活，但他并不符合那种穿休闲西
装、嘴上叼着雪茄的老派赌徒形象。
乌尔加利斯在下注时，从不依靠线人
提示、贿赂裁判或是其他小伎俩，他
也没有什么所谓的“秘诀”，他使用的
是计算机模拟手段，但也并不是完全
依赖这个手段。
乌尔加利斯之所以成功，是因为
他分析信息的方式十分有效。乌尔加
利斯并没有一味地寻求不同的预测模
型，而是将自己掌握的统计学知识和
篮球知识结合起来，并理清这些数据
之间的重要关联。
这需要付出艰辛的努力，有时甚
至会作不少无用功。乌尔加利斯能有
今天的成功，还因为他下注时胆大、
心细。
乌尔加利斯在加拿大马尼托巴的
温尼伯长大，这座城市位于美国明尼
苏达州边界以北约 145 公里，那里的
人们工作勤劳却常受霜冻之苦。乌尔
加利斯的父亲曾经非常富有，在其事
业巅峰期时拥有 300 万美元身家，却
因嗜赌将家产挥霍一空。在乌尔加利
斯 12 岁那年，他的父亲破产了。乌
尔加利斯 16 岁时意识到，要想离开
温尼伯这个鬼地方，就必须接受良好
的教育，而且只能自己挣学费。所
以，考入马尼托巴大学之后，乌尔加
利斯想尽各种办法挣钱。夏天，他会
到不列颠哥伦比亚省最北部从事爬树
的工作，每爬一棵树，可以挣到 7 美
分。在校期间，他会去机场做行李搬
运工，为去往多伦多或明尼阿波利斯
或更远地方的温尼伯人来来回回地运
送行李。
最后，乌尔加利斯终于存够了
钱，买下了他做兼职的那家机场行李
搬运公司的部分股份，不久之后，他
又拥有了更多股份。1999 年，读大
学四年级的乌尔加利斯已经攒下了约
8 万美元。
但是，在乌尔加利斯眼中，8 万
美元仍然算不得什么大钱，他曾经目
睹父亲赢赢输输、进进出出好几回的
钱都是这个数目。作为马尼托巴大学
哲学专业的毕业生，就业前景也不是
那么乐观。正在乌尔加利斯苦苦寻求
加快其人生进程的途径时，他意外地
参与了一场赌局，这场赌局令他欲罢
不能。
那年，洛杉矶湖人队聘用了以打
破陈规闻名的新教练费尔·杰克逊，
费尔·杰克逊曾带领芝加哥公牛队赢
得 6 次 NBA 总冠军。湖人队拥有大
量实力球员：明星中锋、身高 2.13
米的“大鲨鱼”沙奎尔·奥尼尔，正处
在最佳的运动状态；21 岁的后卫科
比·布莱恩特，4 年前刚刚高中毕业，
凭借自己的努力，成了一名越来越耀
眼的明星球员。这两员大将——“大
鲨鱼”奥尼尔和“得分王”科比——一
直是湖人队在 NBA 中取胜的法宝，
再配上杰克逊这样出色的教练，可
谓“将遇良才”，杰克逊能使两人发挥
出最高水平，对于湖人队来说更是如
虎添翼。
然而，这种普遍的看法在湖人队
身上却意外地落空了。前一个赛季，
即因劳资纠纷、球员纷纷罢赛而导致
赛季“缩水”的 1998~1999 年赛季，湖
人队一直状态不佳，球队三易主帅，
比赛胜负比为 31∶19，在第二轮季
后赛中更是连输圣安东尼奥马刺队 4
场，被淘汰出局。与此同时，科比和
奥尼尔“水火不容”，奥尼尔毫不掩饰
自己对科比的嫉妒之心。科比还不到
21 周岁的合法饮酒年纪，人气却直
逼久经沙场的“大鲨鱼”，在洛杉矶的
运动商店里，科比球衣的销量也超过
了奥尼尔，两人因此关系紧张。此时
的西部联盟十分强大，拥有像圣安东
尼奥马刺队和波特兰开拓者队这样紧
密团结且经验丰富的球队，相比之
下，湖人队则过于弱小，根本无法与
之对抗。
在第三场常规赛中，湖人队不敌
波特兰开拓者队。奥尼尔当即在赛场
发飙，中场时被驱逐出场，这似乎印
证了那些电视评论员和向来语不惊人
死不休的节目主持人最担心的事。就
连来自湖人队家乡的《洛杉矶时报》
也开始批评湖人队，认为它只能排在
NBA 最佳球队的第 7 位，还责怪来
自拉斯韦加斯的裁判人员在赛季开始
前曾做出相对乐观的估计——湖人队
会以 4∶1 的总比分赢得 NBA 总冠
军。
进入 1999~2000 年常规赛季才几
周的时间，拉斯韦加斯的篮球赌客们
就开始持怀疑态度，他们将对湖人队
的胜算提高到 6.5∶1，对于那些敢于
挑战传统观念的人来说，可能会欠下
巨额赌债。乌尔加利斯从不相信传统
观念，他认为这些观念明显很荒唐，
而正是这些传统观念中的缺点成就了
他的成功。报纸的专栏记者和篮球赌
客把太多的精力放在那些不起眼的数
据样本上，而忽视了数据周围更大的
环境和情势。
乌尔加利斯并不觉得湖人队打得
有多么差劲。尽管赛程十分艰难，而
且需要不断地适应新教练，还要应对
科比因伤缺阵的困局——科比在季前
赛扭伤了手腕，此后一直没有打比
赛。尽管出现了各种状况，可是湖人
队在 7 场比赛中，依然获得了 5 场胜
利。因为球员罢工和教练更
迭，1998~1999 年赛季的湖人队可谓
支离破碎，媒体焦点总是集中于此，
却忽略了 1997~1998 年赛季比较正常
的情况下，湖人队的胜负场比数达到
61∶21。乌尔加利斯观看过很多场湖
人队的比赛，他很欣赏杰克逊的执教
方式，所以他把自己的全部积蓄 8 万
美元都押在湖人队身上（只留下很少
一部分用作学费和生活费），赌湖人
队这个赛季一定会赢得 NBA 总冠
军。如果乌尔加利斯赌赢了，就能挣
到 50 万美元，如果赌输了，他还得
回到机场去做那份两班倒的工作。
起初，乌尔加利斯的直觉非常敏
锐。他投下赌注时常规赛还剩下 71
场（共 82 场），而湖人队到赛季结
束时赢得了其中的 62 场比赛，包括
3 次连胜——一次连赢 19 场，一次
连赢 16 场，还有一次连赢 11 场。最
终，湖人队以 67 胜 15 负的成绩结束
了该赛季的比赛，这是 NBA 历史上
常规赛季的最佳胜率之一。但在季后
赛里，湖人队赢的就没有这么轻松
了。那时的西部联盟各支球队的打法
迅猛强劲，即使因为常规赛的突出表
现而赢得主场优势的湖人队，想要在
季后赛取得 4 连胜也并非易事。
季后赛第一轮，湖人队侥幸战胜
了勇猛的萨克拉门托国王队，两支球
队一直打到第五场决胜赛（当时的季
后赛采取的是首轮五局三胜制，2001
年之后首轮也改为七局四胜制）才分
出胜负。随后的西部联盟半决赛中，
湖人队对阵菲尼克斯太阳队还算轻
松。但是，在之后的一轮比赛中打得
十分艰苦。湖人队拖住了波特兰开拓
者队，开拓者队由迈克尔·乔丹的前
任助手、杰克逊以前的学生斯科蒂·
皮蓬带队，还拥有打法成熟的全能球
员。尽管开拓者队缺少湖人队那样的
天才球员，但是他们慢节奏的打法和
强硬的身体对抗常常使其他球队乱了
阵脚，总的来说，开拓者队仍然是湖
人队的强劲对手。
决赛中，湖人队轻取七局四胜制
系列赛的第一场比赛，可之后的表现
就如同过山车一般。第二场对战波特
兰开拓者队的比赛在洛杉矶举行，湖
人队的表现糟糕得让人难以置信，在
第三节比赛中连丢 20 分，整场比赛
的比分是 77∶106，这是本赛季湖人
队败得最惨的一场比赛。
之后的两场比赛是在波特兰的玫
瑰花园球馆进行的。第三场比赛中，
在上半场落后 13 分的情况下，湖人
队众志成城，上演逆转好戏，由科比
·布莱恩特在最后两秒投入绝杀一
球。第四场比赛湖人队继续着超水平
的发挥，罚球命中率不堪入目的奥尼
尔竟然也投中了所有的 9 个罚球，追
平了两队之间 11 分的差距。就这
样，湖人队将总比分扩大到了
3∶1，用杰克逊的一句不太恰当的话
说就是，开拓者队已经站在了“死亡
之门”的门口。
但是，到了在洛杉矶斯台普斯体
育馆进行的第五场比赛，湖人队却始
终无法把球投进篮筐。整场比赛共投
篮 79 次，只有 30 次命中，最后以
88∶96 的成绩告败。第六场比赛又
回到波特兰，湖人队仍然找不到状
态，结果开拓者队以 103∶93 的比分
轻松获胜。这样，双方又打成了平
局，决定胜负的第七场比赛将在洛杉
矶进行。
对于一个篮球赌客来说，最谨慎
的做法就是对冲投注。比如，假设乌
尔加利斯一面下注 8 万美元赌湖人队
最终获胜，另一面下注 20 万美元赌
开拓者队会在 2∶3 落后的情况下赢
得第七场比赛，这样就会锁定乌尔加
利斯所得的利润：乌尔加利斯不仅可
以从对冲投注中收回投下的 8 万美元
赌资，还会得到 22 万美元的净利
润；如果开拓者队在 2∶3 落后的情
况下没有最终获胜，而是湖人队最终
获胜，乌尔加利斯最初投下的 8 万美
元赌资会损失掉，他还可能会损失掉
对冲投注的 20 万美元，但是仍然可
以得到在两支球队上同时投注所得的
32 万美元的净利润。这个数目虽然
无法与 50 万美元的目标相比，却也
相当可观了。
但是这里有一个小问题：乌尔加
利斯根本就没有 20 万美元，也不认
识拥有这么多钱的人，至少在他可以
信任的人里没有这样的有钱人。他只
是一个 23 岁的机场行李搬运工，住
在温尼伯哥哥家的地下室。很明显，
他下注的结局只有两个，要么湖人队
赢，要么他破产。
比赛之初，乌尔加利斯的运气并
不是太好。开拓者队对奥尼尔处处盯
防，想把他逼到罚球线上，对于湖人
队来说，奥尼尔的每次罚球都是一次
冒险（因为奥尼尔的罚球命中率
低），或者让他为了避免因犯规满 6
次离场而备受束缚。在第二节的上半
时比赛中，这种作战策略确实奏效
了，奥尼尔犯规 3 次而且一直未能得
分。第三节比赛中，皮蓬带领的开拓
者队继续此前的凶猛攻势，最终以一
个 3 分球结束了该节比赛，领先湖人
队 16 分，斯台普斯体育馆嘘声四
起。
此时，乌尔加利斯的胜算很低。
湖人队在第三节比赛只剩两分钟时还
落后 16 分，几乎没有哪支球队处在
这样的困境中还能扳回比赛，据计
算，湖人队失败的概率大概为
15∶1。乌尔加利斯的赌注——离开
温尼伯的车票——似乎只能泡汤了。
但是，第四节比赛一开始，开拓
者队依靠硬碰硬的身体对抗打法开始
出现弊端，队员因不断的撞击体力消
耗很大，身心俱疲。而湖人队是在主
场作战，心理学家认为，主场作战会
使运动员在必要时产生额外的兴奋
感。湖人队是一支年轻的队伍，他们
的活力源源不断。
开拓者队一下子陷入了得分荒，
第四节比赛开始后的 6 分钟内一分未
得，而湖人队此时则加快了进攻的脚
步，将比分差距缩小到个位数，先是
缩小到 5 分，之后又缩小到 3 分，接
着布莱恩·肖的 3 分远投将比分扳
平，最后，科比的两记罚球使湖人队
的得分反超。尽管比赛最后几分钟开
拓者队的投篮命中率有所提高，但为
时已晚，湖人队的两位巨星科比和奥
尼尔完成了一次连贯的空中接力，锁
定了比赛的胜局。
两周后，湖人队迅速完胜印第安
纳步行者队，赢得了“魔术师”约翰逊
时代的第一个 NBA 总冠军，而机场
行李搬运工乌尔加利斯也加入了准百
万富翁的行列。
成功的赌客是如何思考
问题的？
乌尔加利斯怎么会知道湖人队能
够获胜呢？其实他并不知道。成功
的“赌客”以及任何领域中成功的预测
者，从来不会以稳赚不赔的心态、无
懈可击的理论和极其准确的尺度去看
待未来，这些都是失败者的幻想，是
过度自信的弊病。成功的“赌客”会把
未来看成零星的可能性，这些可能性
会像股票行情一样随着新信息的出现
而上下浮动。当赌客们能够确保自己
的预测不会出差错时，他们才会下
注。
比如，乌尔加利斯下注时，拉斯
韦加斯赌客们的态度就已经暗示了湖
人队只有 13%的胜算赢得 NBA 总冠
军。乌尔加利斯并不认为湖人队获胜
的概率是 100%，但是乌尔加利斯确
信的是，湖人队获胜的概率不止
13%，他认为获胜概率约为 25%。如
果乌尔加利斯的计算是正确的，那么
他的赌注从理论上说会赢得 7 万美元
的利润。
表 8–1 乌尔加利斯眼中的湖人队赌局
结果
概率
净利润
湖人队胜利
25%
+520 000 美元
湖人队失败
75%
–80 000 美元
预计获利
+70 000 美元
然而，如果将未来定位为概率色
调梯度中的灰色，那么“现在”就是黑
色和白色了。乌尔加利斯有 25%的概
率获得 52 万美元，扣除有 75%的概
率会损失掉的 8 万美元，得出的 7 万
美元就是乌尔加利斯所能获得的理论
上的利润。长期看来，输赢是对等
的：对于一个出色的预测者来说，过
去和未来的情况都可以依据长期概率
表现出来，因此两者之间更加相似，
却与当下的情况有所不同。但是，这
是一个“开弓就没有回头箭”的赌局，
乌尔加利斯需要极大的把握（他认为
有 6 个不同的理由可以解释赌客们低
估了湖人队的实力），还需要保持极
为清醒的头脑，这样才能达成目标。
图 8–1 成功赌客眼中的世界
既然乌尔加利斯已经为自己筹集
到了资金，他还是可以承担得起较小
的风险的。乌尔加利斯可以在某个典
型的 NBA 篮球之夜投三四个赌注。
以任何正常的标准来看，这些都是极
大的赌注，可与他获得的净利润相
比，这些钱都是小钱，小到他看似根
本不把这些钱放在眼里。我去拜访乌
尔加利斯的那天晚上，他的眼睛聚精
会神地盯着那些平板电视，眨都不眨
一下，直到犹他爵士队将身高 2.19
米、动作不够灵活的乌克兰籍球员基
里洛·费森科派上场，他才得空眨了
眨眼睛，因为他知道，这一举动无疑
表明爵士队已经认输了，而他自己也
丢掉了押在这个队身上的 3 万美元。
乌尔加利斯的大秘诀在于，他根
本就没有什么大秘诀，却有上千个小
秘诀，他每次都把这些信息量子组合
为一个矢量。比如，他有一个程序，
这个程序可以对每一场比赛的结果进
行模拟。但是，他并不完全依赖这个
程序，只有在胜算很大或是有其他信
息补充进来时，他才会依赖该程序。
几乎所有 NBA 比赛他都看过——不
论是直播还是录播——对于哪支队伍
表现出色而哪支队伍表现不佳，他都
有自己的看法。他经营着一家球探服
务机构（本质上说其实是为他自己服
务的），雇用了一些助手，让这些助
手将每个球员在每场比赛中的防守阵
形绘制成图，这种做法给乌尔加利斯
带来的好处就连很多 NBA 球队都望
尘莫及。他关注了几十名 NBA 球员
的微博，仔细查看每一条 140 个字符
的微博内容，试图从中找出关联信
息：若某位球员发微博说自己那晚晚
些时候会去某个夜总会，那这位球员
的心思很可能根本就没在比赛上。乌
尔加利斯十分关注球队教练在新闻发
布会上说的话及他们的措辞，比如，
如果某位教练说，他希望他的队
伍“学习进攻”或者“练好篮球基本
功”，那可能表明他希望放慢比赛的
节奏。
对于大多数人来说，乌尔加利斯
观察的这些事物似乎十分琐碎。从某
种意义上来说，那些大而明显的优势
也会被其他篮球赌客发现，也会在盘
分线上反映出来。所以，乌尔加利斯
必须作进一步的研究。
比如，2002 年赛季末，乌尔加
利斯注意到，凡是克里夫兰骑士队参
加的比赛，比分都会超出下注的总分
数（体育赌注主要有两种，一种是计
算分数差，另一种是计算总分，即两
支队伍得分的总和）。连着看了十几
场比赛之后，乌尔加利斯很快就找到
了原因：骑士队的得分后卫里基·戴
维斯是出了名的自私自利，在赛季结
束之后他即将成为自由球员，因此他
所做的每件事都是为了提高自己的统
计数据，尽可能地提升自己的价值。
里基·戴维斯总是在千钧一发的时
刻，努力组织进攻，制造各种机会增
加自己的得分和助攻次数。比赛精彩
与否已不再重要：骑士队已经丢掉了
夺冠的机会。多数情况下，骑士队的
对手也会丢掉夺冠机会，而且作为回
报，双方会签订一份默契协议，在之
后的比赛中，防守松懈、轮流投篮，
从而提高自己的统计数据。该赛季最
后 3 周里，骑士队参赛的比赛总得分
突然从每场 192 分上升到每场 207
分。在总分上投注不是多么确切的
事，当然，世上本就没有什么是确切
的，但是总分投注却可以让投注人一
本万利。
回顾过去，这样的比赛模式有时
十分明显：如果骑士队除了不断地提
高进攻数据以外什么都不做，那么，
他们参加的比赛必会是高分比赛。篮
球赌客在看统计数据时，观点极其偏
执，从不考虑统计数据是在什么样的
背景下产生的，于是这些球员就可以
玩障眼法。如果一支球队一连串比赛
的得分都很高，甚至出现三四次这种
连续高分的情况，这样的高分通常没
有任何意义。确实，因为 NBA 赛季
很长，30 支球队要打 82 场常规赛，
舞弊的现象时有发生。这些比赛大多
为深水盘，这些情况的出现纯属偶然
原因导致。而实际上，篮球赌客们通
常也会认识到这些趋势，他们在划定
盘分线时可能就会对这些趋势进行过
度补偿，有时反方向下注才是明智的
做法。
所以，乌尔加利斯不单单是寻找
过去的比赛模式，在任何一个数据丰
富的领域，寻找模式很容易，一般的
赌客也都是这么做的。关键是要分辨
出这些模式到底是噪声还是信号。
虽然还没有找到可以解释乌尔加
利斯下注时作为依据的关键点，但是
有一种思维过程可以帮助他作决定，
这就是贝叶斯定理。
贝叶斯留下的宝贵遗产
托马斯·贝叶斯，大概于 1701 年
出生（不过后人更倾向于 1702
年），他是一位英国牧师，也是英国
皇家学会会员。虽然人们用贝叶斯的
名字为概率论命名——贝叶斯定理或
许是数理统计学中最著名的定理了
——但对他的生平却知之甚少，甚至
没有人知道贝叶斯的样貌，印在百科
全书上的肖像大多也是张冠李戴，根
本就不是他的真容。
贝叶斯出生在一个富足的家庭，
他的家可能位于英国东南部的赫特福
德郡，关于这一点人们基本上没有什
么争议。因为贝叶斯不信奉英国国
教，所以被牛津或剑桥这样的学府拒
之门外，他只能不远万里到爱丁堡大
学读书。
尽管贝叶斯所著图书的种类并不
算多，但还是被选为英国皇家学会会
员，在英国皇家学会，他担任内部评
论家或者智力辩论的裁判员。尽管
《神的慈爱》这篇短文是用约翰·努
恩的署名发表的，但大部分学者认为
这篇文章其实就是贝叶斯的作品。文
中，贝叶斯思考了古老的神学问题：
如果上帝真的是慈爱的，这世上为何
还会有苦难和邪恶？贝叶斯给出的答
案大体上是，我们不能将人类的瑕疵
误认作上帝的缺陷，我们可能并不完
全理解上帝所创造的这个世界。贝叶
斯在给另一个神学家的回信中写
道：“所以一切看起来都那么奇
怪……因为上帝只看到世界最底层的
生活，他应该由此推断出整个人类会
丧失幸福感。”
贝叶斯的作品《机会的学说概
论》（又称《论有关机遇问题的求
解》）的名气更大一些，直到 1763
贝叶斯去世之后，这部作品由他的朋
友理查德·普莱斯引介到英国皇家学
会，引起了学会的注意，随后才得以
出版。这部作品主要研究的是，当我
们遇到新数据时，该如何使用概率的
方法进行推理。
在向众人呈现贝叶斯这一著作
时，普莱斯举了一个“人”的例子，他
是第一个出现在这个世界上的人（他

可能是亚当，也可能是来自柏拉图洞
穴的人），也是第一个看见日出的
人。起初，这个人并不知道日出是必
然现象还是偶然现象。然而，此后他
度过的每一天太阳都会升起，于是他
信心大增，认为这就是大自然的一个
永恒特征。渐渐地，通过这一纯粹的
统计学形式的推断，他预测太阳每天
升起的概率为 100%（尽管从未达到
100%）。
贝叶斯和普莱斯并不认为这个世
界本质上是盖然性的或不确定的。贝
叶斯相信神是完美的，但他同时也支
持牛顿的学说，认为大自然遵循一种
有规律且可预测的法则。贝叶斯的理
论更像是一种声明，从数学方面和哲
学方面表达了我们是如何了解宇宙
的：我们通过近似值一点点地模拟并
认识宇宙，收集越多的证据，就越接
近真相。
这与苏格兰哲学家戴维·休谟的
无神论观点形成了鲜明对比。休谟认
为，既然我们不能确定太阳能否再次
升起，那么认为太阳会升起和认为太
阳不会升起的预测都是不合理的。贝
叶斯则认为，合理性也是一种盖然
论。其实贝叶斯和普莱斯是在告诉休
谟，不要指责大自然，我们无法理解
大自然只是因为我们不够聪明；如果
你从无神论的牛角尖中走出来，并且
对自然的规律作一些预测，也许就会
离真相更近一些。
概率、预测与科学进步
我们可能注意到了，无神论的主
张与贝叶斯在《神的慈爱》中提到的
观点（我们不能把自己的不足怪罪到
上帝头上）如出一辙。承认自我的缺
陷才能补救不足。
然而，贝叶斯的哲学思想本质上
没有任何宗教色彩。今天公认的贝叶
斯定理就是一个普通的不能再普通的
数学表达式，是由法国数学家、天文
学家拉普拉斯推导出来的，而拉普拉
斯就是一个无神论者。
也许你还记得，本书前文中提到
拉普拉斯是科学决定论的倡导者。他
认为只要给定宇宙内每一粒子的位
置，并能快速计算其运动规律，人们
就能完美地做出对宇宙的预测。那
么，拉普拉斯为什么也与基于盖然论
的理论撇不清关系呢？
原因在于，大自然完美无缺，人
类对自然的认知和了解却缺憾万千，
二者之间又断了联系。当天文观测显
示木星和土星的运动轨迹出现异常
时，拉普拉斯几乎要崩溃了，因为按
照他的预测，木星即将撞上太阳，而
土星即将飞入外太空。当然，这些预
测都是错的，而拉普拉斯毕生都致力
于测量这些行星的运行轨迹，力求得
到更加准确的数据。那时，望远镜这
样的仪器还不够精密，因此拉普拉斯
所取得的进步只能依赖概率推理而非
精确的测量。在拉普拉斯的眼中，概
率是介于无知与博闻之间的基准点，
更透彻地理解概率对科学进步极为重
要。
18 世纪时，贝叶斯和拉普拉斯
对概率、预测和科学进步之间的内在
联系理解得更加透彻，借助几百年前
发明的印刷机，人类社会由此开始进
入信息大爆炸时期，并最终将这些信
息应用于推动科学、技术和经济的持
续进步。这种内在联系至关重要，与
预测行星运行轨迹和湖人队能否夺冠
一样重要。就像我们即将看到的那
样，当另外一种不同的统计模型成为
20 世纪的主导时，这种模型不再强
调预测的作用，而是试图将不确定性
说成我们测量失误的结果，与我们错
误的判断无关，科学发展就会受到牵
绊。
简单的运算推导出重大
的预测
如果说贝叶斯定理的哲学基础惊
人地深厚，那么相比而言，其数学运
算就少得可怜了。在其最基本的形式
中，数学运算只是个代数表达式，包
含 3 个已知变量和一个未知变量。然
而，就是这样一个简单的运算，却可
以推导出重大的预测。
贝叶斯定理涉及条件概率，也就
是说，一旦发生了某个事件，这一定
理就可以告诉我们一种理论或假设是
否正确。
假设你和伴侣同住，某天出差回
家后发现自己的衣橱里多出一件陌生
的内衣。你可能会奇怪：自己的伴侣
是不是出轨了？前提条件是，你找到
了内衣，你想要评估的是自己的伴侣
出轨的可能性。不论你相信与否，对
于这样的问题，贝叶斯定理总能给出
答案——假如你知道（或者有意愿预
估）下列 3 个量：
第一，你需要预测出自己的
伴侣在出轨的情况下，这件内衣
出现的概率。为了解决这个问
题，我们暂且假设你是一位女
性，而你的伴侣是一位男性，那
么，此时我们所说的内衣就是一
件女式内衣。如果你的伴侣出轨
了，那么很容易想象这件内衣是
如何进入你的衣橱的。那么，即
使他确实要做对不起你的事，你
也希望他能够小心行事。在他确
实背叛了你的情况下，我们认
为，这件内衣出现的概率是
50%。
第二，你需要预测出自己的
伴侣在没有出轨的情况下，这件
内衣出现的概率。如果他没有出
轨，有什么理由证明那件内衣的
清白呢？当然有些理由会令人不
快（比如这件内衣也有可能是他
自己的）。或许，他把衣服搞混
了；或者你的伴侣有一位红颜知
己，两人之间只存在纯友谊，而
你对此也深信不疑，她寄宿一晚
忘了带走内衣；或者这就是你的
伴侣给你准备的一件礼物，只不
过忘了把它包起来。尽管这些理
由有些荒谬，但也能说得通。你
将这种情况出现的概率定为
5%。
第三，这点最为重要，你需
要预测贝叶斯定理中所说的先验
概率（或者简称先验）。在发现
内衣之前，你认为自己的伴侣出
轨的概率有多大？当然，现在很
难完全客观地考虑这个问题，因
为你已经发现了内衣。（在理想
状态下，在开始查验证据之前，
你就已经算出了先验概率。）但
有时我们可以依据经验推断某事
件发生的概率。比如，研究发
现，已婚夫妇任何一年的出轨概
率都在 4%左右，所以，我们可
以将这个概率视为先验概率。
如果我们算出了以上 3 个概率
值，就可以依据贝叶斯定理得出后验
概率。令我们感兴趣的是这样的数
据：在发现内衣的情况下，伴侣背叛
我们的概率有多大？计算结果（和计
算所得出的简单代数表达式）见表
8–2。
从图中可以看到，这一概率非常
低：只有 29%，这个结果也许看似仍
有悖常理——那件内衣果真是清白的
吗？但这一概率之所以较低，是因为
你把伴侣出轨的先验概率设定得很
低。尽管一个清白的男人不能像出过
轨的男人那样，能为一件陌生内衣的
出现找出很多看似合理的解释，但你
一开始就把他当作清白的人，这一点
对方程式中影响很大。
表 8–2 贝叶斯定理——内衣例子
先验概率
男友出轨的初始概率预测
x
4%
新事件：发现神秘内衣
在男友出轨的情况下，内衣出
现的概率
y
50%
在男友未出轨的情况下，内衣
出现的概率
z
5%
后验概率
在你发现内衣的情况下，修正
对男友出轨的预测值
xy
xy ＋ z（1
－ x）
29%
当我们的先验观念很强大时，它
们在新出现的证据面前会表现出惊人
的弹性。有一个经典的例子可以证明
这一点，那就是女性 40 多岁时患上
乳腺癌的概率。女性步入 40 岁之
后，患乳腺癌的概率其实很低，只有
1.4%，这是很幸运的。但是，如果一
位女性的乳房 X 光片显示阳性，那
么她患乳腺癌的概率会是多少呢？
研究显示，如果一位女性未患乳
腺癌，其乳房 X 光片会错误地显示
她患乳腺癌的概率仅为 10%。而如果
一位女性确实患有乳腺癌，X 光片会
查出她患乳腺癌的概率约为 75%。看
到这些统计结果，你会觉得阳性 X
光片似乎确实不是什么好消息，但如
果用贝叶斯定理来分析这些数据，你
会得到不同的结论：40 多岁的女
性，即使乳房 X 光片呈阳性，其患
乳腺癌的概率也只有 10%，因为鲜有
女性年轻时就得上乳腺癌。因此，许
多医生都建议女性在 50 多岁时再进
行常规的乳房 X 光检查，而这样会
使得患乳腺癌的先验概率更高。
这样的问题无疑极具挑战性。最
近一项针对美国人的统计学意识的民
意调查就介绍了这个乳腺癌的例子，
结果发现，只有 3%的受访者能够给
出正确的概率估值。有时，放慢速度
直观地审视这个问题（如图 8–2 所
示），反而会得到与不准确的估值完
全相反的真实数值。可视化技术使得
人们更容易考虑全局，因为乳腺癌在
年轻女性中病发率极低，所以阳性 X
光片根本就不能说明问题。

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