“数量关系”常用数学公式汇总系统版 信号与系统常用公式

“数量关系”常用数学公式汇总

一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则

一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；

一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；

一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。

一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。

二、（3、9）整除及余数判定基本法则

一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；

一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；

一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；；

一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。

三、整除与余数问题

1、被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）；

2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；

余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1；

和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7；

差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3；

四、奇偶特征

1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；

2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；

3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。

五、基础代数公式

1. 平方差公式：（a＋b）·（a-b）＝a²-b²

2. 完全平方公式：（a±b)²＝a²±2ab＋b²

3. 完全立方公式：（a±b)³=（a±b）(a²ab+b²)

4. 立方和差公式：a³+b³=(a b)(a²+ab+b²)

5.a^m·aⁿ＝a^m＋na^m÷aⁿ＝a^m－n(a^m)ⁿ=a^mn(ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ

六、等差数列

1. ＝ ＝na₁+ n(n-1)d；

2. ＝a₁＋（n－1）d；

3. 项数n ＝ ＋1；

4. 若a,b,c成等差数列，则：2b＝a+c；

5. 若m+n=k+i，则： ；

6. 前n个奇数：1，3，5，7，9，…（2n-1）之和为

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，d为公差， 为等差数列前n项的和）

七、等比数列

1. ；

2. ＝ （q 1）

3. 若a,b,c成等比数列，则：b²＝ac；

4.若m+n=k+i，则：a_m·a_n=a_k·a_i；

5. ＝q^(m-n)

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，q为公比， 为等比数列前n项的和）

八、不等式

1.一元二次方程求根公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

其中： （b²-4ac 0）

根与系数的关系：x₁+x₂=-，x₁·x₂=

2. （a、b，当且仅当a=b时取等号）

3. （a、b ）

4. (a、b、c ，当且仅当a=b=c时取等号)

5.一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。

6.两项分母列项公式： =( — )×

三项分母裂项公式： =[ — ]×

九、基础几何公式

1.勾股定理：a²+b²=c²(其中：a、b为直角边，c为斜边)

2.面积公式：

正方形＝ 长方形＝三角形＝ 梯形＝

圆形＝R²平行四边形＝扇形＝ R²

3.表面积：

正方体＝6 长方体＝圆柱体＝2πr²＋2πrh球的表面积＝4 R²

4.体积公式

正方体＝长方体＝圆柱体＝Sh＝πr²h圆锥＝πr²h球＝

5.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S_侧＝πr；

6.图形等比缩放型：

一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：

(1)所有对应角度不发生变化；

(2)所有对应长度变为原来的m倍；

(3)所有对应面积变为原来的m²倍；

(4)所有对应体积变为原来的m³倍。

7.几何最值型：

(1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。

(2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。

(3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。

(4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。

十、工程问题

1、核心思想：转化归一或最小公倍数

2、基础公式：

工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

十一、几何边端问题

1、方阵问题：

(1)实心方阵：方阵总人数＝（外圈人数÷4+1）²=N²

最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

(2)空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数-层数）×层数×4

★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。

(3)实心长方阵：总人数=M×N外圈人数=2M+2N-4

(4)方阵：总人数=N²外圈人数=4N-4

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人）

2、排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人

3、爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬 层。

十二、利润问题

1、利润＝销售价（卖出价）－成本；

利润率＝ ＝ ＝ －1；

销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。

2、利息＝本金×利率×时期；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。

本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）= ；

月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多

少元？”

2400×（1+10．2‰×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）

十三、排列组合

1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。

2、排列公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。

组合公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。

3、相邻问题---捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；

不邻问题---抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。

十四、概率问题

1、概率=满足条件的情况数/总的情况数

2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和；

3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。

4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。

十五、年龄问题

1、年龄问题的三大规律：

（1）两人的年龄差是不变的；

（2）两人年龄的倍数关系是变化的量；

（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；

2、关键是年龄差不变；

（1）几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

（2）几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差

十六、边端问题

1、基本思想：牢记各类题型当中的“±1关系”，是解答“边端问题”的关键。

2、基础公式：

（1）单边线形植树：棵数＝总长 间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔

（2）单边环形植树：棵数＝总长 间隔； 总长=棵数×间隔

（3）单边楼间植树：棵数＝总长 间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔

（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。

（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2^N×M＋1）段。

十七、行程问题

1、平均速度型：平均速度＝

2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间

背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间

3、流水行船型：

顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速。

顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间

逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间

4、火车过桥型：

列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度

列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间

5、环形运动型：

反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间

同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间

6、扶梯上下型：

扶梯级数=(人速+扶梯速度)×顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行)

　　扶梯级数=(人速-扶梯速度)×逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行)

7、队伍行进型：

对头 队尾：队伍长度=（u_人+u_队）×时间 (人和队伍同向而行)

队尾 对头：队伍长度=（u_人－u_队）×时间（人和队伍反向而行）

8、典型行程模型：

等距离平均速度：（ 分别代表往、返速度）

等发车前后过车核心公式：发车时间间隔：

无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t_顺和t_逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）

十八、钟表问题基本常识：

①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 。

②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180^o 22次。

③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（30⁰），分针每小时转12格（360⁰）

④时针一昼夜转两圈（720⁰），1小时转圈（30⁰）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。

⑤钟面上每两格之间为30⁰，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

追及公式： ；T为追及时间，T₀为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。

十九、容斥原理

1、两集合标准型：满足条件I的个数+满足条件II的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数。

2、三集合标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|

3、三集和图标标数型：

利用图形配合，标数解答

(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别

(2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形

(3)标数时，注意由中间向外标记

4、三集合整体重复型：

三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。
　　 假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。

二十、牛吃草问题

核心公式：y=(N-x)T

原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X。

注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用 代入，此时N代表单位面积上的牛数。

二十一、弃九推断

在整数范围内的＋、－、×三种运算中，可以使用此法

1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。

2、计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-8之间。

3、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。

备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9余数是0，另外一个就不再需要计算了。

二十二、乘方尾数

口诀：“底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）”。

二十三、除以“7”乘方余数核心口诀

注：只对除数为7的求余数有效

1、底数除以7留余数

2、指数除以6留余数（余数为0则看作6）

注：“尾数”即除以10之后的余数。

二十四、指数增长

如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的A^N倍，一个周期前应该是当时的。

二十五、溶液问题

1、溶液=溶质+溶剂浓度=溶质÷溶液溶质=溶液×浓度溶液=溶质÷浓度

2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则

①

②

3、混合稀释型

①溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为

②溶液加入比例为a的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为

二十六、调和平均数

1、调和平均数公式：

2、等价钱平均价格核心公式：（P₁、P₂分别代表之前两种东西的价格）

3、等溶质增减溶质核心公式：（其中r₁、r₂、r₃分别代表连续变化的浓度）

二十七、同余问题

核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”

1、余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1”

2、和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7”

3、差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3”

选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。

注意：n的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。

二十八、星期日期问题

★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。

注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。

二十九、循环周期问题

核心提示：若一串事物以T为周期，且A÷T=N…a，那么第A项等同于第a项。

三十、典型数列前N项和

1、

2、

3、

4、

三十一、常用平方、立方及多次方数

三十二、质数、合数

★1既不是质数也不是合数

1、 20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17和19；

20以内的合数包括：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。

2、典型形似质数分解

三十三、常用“非唯一”变换

1、数字0的变换:

2、数字1的变换：

3、特殊数字变换：

4、个位幂次数字：

三十四、比赛问题

N支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2。

三十五、乘船过河问题

核心公式：M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）。

三十六、正四面体常用参数

侧/底面高：侧/底面面积：底面内切圆半径：

高： 体积： 截面ADP面积：底面外接圆半径：

三十七、页码问题

1、三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36；

2、对多少页出现多少1或2的公式

　　 如果是X千里找几，公式是 1000+X00 3 如果是X百里找几，就是100+X0 2，X有多少个0 就多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，

　　 比如，7000页中有多少3 就是 1000+700 3=3100(个)

　　 20000页中有多少6就是 2000 4=8000 (个)

　　 提示：如3000页中有多少3，就是300 3+1=901，请不要把3000的3忘了

三十八、图色公式

　　 公式：(大正方形的边长的3次方)—(大正方形的边长—2)的3次方。

三十九、抽屉原理

最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；

四十、其他问题

1、空瓶换酒型

（N 即是每N瓶换1 瓶中的N，式子的结果只取整数部分）；

2、分割求解型

将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。

3、青蛙跳井问题

完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)

例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)

　　②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)

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