爱华网2.2.1《反证法》导学案（第1课时）
第三大周年级：高二科目：数学 主备人：王静审核人：张淑娜
【学习目标】
1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.
【重难点】重点：反证法的证明步骤 难点：运用反证法证题
【自主探究】
反证法：一般地，假设不成立（即在的条件下，不成立），经过的推理，最后得出。因此说明假设，从而证
明了，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1）反设——假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬——由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾（与已知条件或已知
的公理、定理、定义、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾）；
（3）存真——因为推理正确，产生的矛盾原因在于“反设”的谬误，既然结论的
反面不成立，从而肯定了结论成立．
1.“是”的反面是 2.“有”的反面是 3.“等”的反面是
4.“成立”的反面是5.“有限”的反面是
【注意】：
1.“都是”的反面是不都是，即“至少有一个不是”(不是“都不是”)
2.“都有”的反面是即“”(不是“”)
3.“都不是”的反面是即“”(不是“”)
4.“都没有”的反面是即“”(不是“”)
5.至少有一个的反面是, 至多有一个的反面是
6.至少有n个的反面是,至多有n个的反面是
7.对所有x成立的反面是,对任意x不成立的反面是
8.P或q的反面是, P且q的反面是
【合作探究、课堂互动】（核心知识突破）
例1．（证明“至少”、“至多”型命题）
若 均为实数，且 。
求证： 中至少有一个大于0。
【点拨】本题的结论中包含的情形较多，而其反面结论只有一个，于是作出假设，导出矛盾，故假设为假，从而原命题为真.
证明：假设 都不大于0，即 ，则有 ，而 =
∴ 均大于或等于0， ，∴ ，
这与假设 矛盾，故 中至少有一个大于0。
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→ 从假设出发，经推理论证
得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
变式1. 求证:一个三角形中，至少有一个内角不小于
变式2. 已知 ,且.试证:中至少有一个小于2.
【基础检测】
1.“a<b”的反面应是（ ）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2.用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）
A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于cC．a⊥bD．a与b相交
3.用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的
角也不相等”时，应假设___________．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．
5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数;（2）a≥0; （3）a<5．
6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____
条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
7．完成下列证明．
如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．
综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角
【小结】：适宜使用反证法的情况:
1.结论以否定形式出现；2.结论以“至多-----，” ，“至少----”形式出现；
3.唯一性、存在性问题；4.结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。
2.2.1《反证法》导学案（第2课时）
【学习目标】
1.了解反证法的思考过程、特点;2.会用反证法证明问题.
【重难点】
重点：反证法的证明步骤难点：运用反证法证题
【合作探究、课堂互动】（核心知识突破）
例2（证明“唯一”型命题）已知,证明的方程 有且只有一个根.
【点拨】“唯一”型命题从正面很难证明，故可以采用反证法
变式3.证明:过已知直线 外一点 只有一条直线 与已知直线 平行．
例3（否定型命题） 证明：当 时，
【点拨】对于否定型命题,正面证明需要考虑的情况很多,过程繁琐且易
遗漏.用反证法证明时,推理过程就变得比较简单.
变式4.证明不是有理数
变式5. 已知 ，证明方程 没有负数根
【当堂检测】
1.实数不全为0等价于为（）
A．均不为0B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0D．中至少有一个不为0
2.证明命题：在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°时，应假设
3.用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的假设为
4.证明命题“ 可以被5整除，那么 中至少有一个能被5整除。”那么
假设的内容是
5.求证:不可能成等差数列.
6.的三边 的倒数成等差数列,求证:.
7.已知a、b、c成等差数列且公差 ，求证： 、 、 不可能成等差数列
8.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
9.若三条抛物线中
至少有一条与x轴有公共点，求a的取值范围
10.求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等。
11.已知实数ｐ满足不等式（ ,用反证法证明：关于X的
方程 无实根.
【课堂小结】
1.反证法解题的实质：就是证明命题的逆否命题和原命题同时成立，即否定结论导出矛盾，
从而说明原结论正确．
2.反证法的一般步骤：①反设②归谬③结论（①否定结论②推理论证③导出矛盾④肯定结论）
3.反证法的关键：是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛盾有三类：
①与假设矛盾（自相矛盾）；②与公认的简单事实矛盾；
③与数学公理、定理、公式、定义、或已被证明了的结论矛盾。
4.应用反证法的情形：①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论；
③结论中出现“至多，至少，唯一，至少有一个，至多有一个”等词语类命题或否定性命题。
