数论之带余除法 初等数论同余 素数

 一、求被除数类

  1. 同余加余,同差减差

  例1.某数被7除余6,被5除余3,被3除余3,求此数最小是多少?

  解:因为“被5除余3,被3除余3”中余数相同,即都是3(同余),所以要先求满足5和3的最小数,[5、3]=15,

  15+3=18,

  18÷7=2……4不余6,(不对)

  15×2=30

  (30+3)÷7=4……5不余6(不对)

  (15×3+3)÷7=6……6(对)

  所以满足条件的最小数是48。

  例2.某数被3除余2,被5除余4,被7除余5,这个数最小是多少?

  解:因为“被3除余2,被5除余4”中都差1就可整除,即同差,所以要先满足5和3的最小数,[5、3]=15,

  15-1=14,

  14÷7=2……0不余5(不对)

  (15×6-1)÷7=12……5

 所以满足条件的最小数是89。

  例3.一个四位数,它被131除余112,被132除余98,求这个四位数?

  解:除数相差132-131=1,余数相差112-98=14,说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。

  二、求除数类

  1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。

  例1.一个数去除551,745,1133这3个数,余数都相同。问这个数最大可能是几?

  解:745-551=194,1133-745=388。(194,388)=194,所以这个数最大是194。

  2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2, r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。

  例2.有一个整数,用它分别去除157,234和324,得到的三个余数之和是100。求这个整数?

  解:157+324+234-100=615,615=3×5×41。100÷3=33……1,即最小的除数应大于34,小于157。所以满足条件的有41、123两个,经过验算可知正确答案为41。

  三、求余数类

  例1.已知整数n除以42余12,求n除余21的余数?

  解:由已知条件可知,n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以,n除以21的余数为12。

 例2.有一个整数,除1200,1314,1048所得的余数都相同且大于5。问:这个相同的余数是多少?

  解:因为

  1314-1200=114=3×38,

  1200-1048=152=4×38。

  某自然数应当是这两个差的公约数,即38。又因为

  1200÷38=31(余22)

  1314÷38=34(余22)。

  所以,这个相同的余数是22。

  例3.求19901990除以3所得的余数?

  解:由同余的性质可知:对于同一个模,同余的乘方仍同余。

  因为,

  1990被3除余1,即19901990≡11990≡1,

  所以19901990除以3所得的余数为1。

  例4.有一个77位数,它的各位数字都是1,这个数除以7,余数是多少?

  解:根据被7整除的特征知,111111能被7整除。

 77 ÷6=12(余5),

  11111÷7=1587(余2)。

  所以,这个数除以7的余数是2。

  例5.1,1,2,3,5,8,13,……,90个数排成一列,从第三个数起,每个数都等于它前面两个数的和。那么,这90个数的和除以5的余数是多少?

  解:这一列数被5除的余数依次为1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,……。

数论之带余除法 初等数论同余 素数

  余数从头起20个数一个周期循环出现,而且这20个数的和40又恰为5的倍数。

  90÷20=4(余10)

  这列数中前10个数的余数和为

  1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18

  18÷5=3(余3)

  所以,这90个数的和除以5的余数为3。

  练习题:

  1. 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是多少?

  2. 已知整数n除以3余2,求n除以12的余数?

  3. 某数除以13余5,除以17余8,除以21余4,求此数最小是多少?

 4.号码分别为101,126,173,193的四个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么,打球盘数最多的运动员打了多少盘?

  5. 求21000除以13的余数是多少?

  6.当n是1到1992之间的一个自然数时,把它的各位数字相加,如果它的和不是一个一位数,那么把它的各位数再相加,如此继续下去,直到得到一个从1到9的一位数为止(例如:468→18→9)。问在1到1992这1992个自然数经过上述方法处理后所得的1992个一位数中,3多还是4多?多几个?

  7. 由2000个2组成的数除以13,所得的余数是几?

  

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