数学的内在美1 -欧拉定理的证明 考研数学定理证明

先叙述一下欧拉定理,应该说是欧拉定理之一,以欧拉名字命名的数学名词有900多项。

任何一个多面体(不论凹凸), 棱数(L),顶角数(M),面的数目(N),满足如下关系:

N + M - L =2.。

先拿掉一个面,然后把其表面“摊”平。在这过程中,面上每个多边形的几何尺寸会改变,但点面棱的拓扑关系保持不变。

先假定这摊平的多边形的外围有个三角形,我们把这个三角形拿掉。这样L-2,N-1,M-1。所以欧拉定理如果成立,拿掉这个三角形后还是成立。所以我们可以把所有三角形拿掉,不改变欧拉定理的正确性。

我们把所有的K边形(K〉3)添对角线变成两个多边形。这个添加过程中,L+1, N+1,M不变,所以欧拉定理继续成立。这样可以把K边形变成 K-2个三角形而不改变欧拉定理的正确性。

我们把所有的三角形(原来的和自己制造的)全部拿完,到最后一个时

L=3,M=3, N=1

这时

N + M - L = 1

数学的内在美(1)-欧拉定理的证明 考研数学定理证明

记住在第一步我们拿掉了一个多边形。这使M-1,L和N不变。把这个面加上去就是欧拉定理。

这个近乎完美工艺品的数学证明,我是在1981年聆听费鹤良老师作科普讲座时知道的。他现在当然已经是费鹤良教授了,是《十万个为什么》数学分册的编委。

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说是(1),这(2)是什么自己都不知道,更别说时间表了。

我对数学近似痴迷,其程度不亚于基督徒信奉上帝。再加上记性奇好,很想把许多故事与大家分享。但或者美丽但太高深,甚至自己都不甚了了。或又太浅显,不够美丽,像这样合适的题材不是很好找,但会努力。

  

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