爱华网绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．
答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．
参考公式：
样本数据x1,x2,?xn的标准差
s?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2
n其中x为样本平均数
球的面积公式 S?4?R2
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.复数
A．1?2i（i是虚数单位）的虚部是 (B ) 1?i31 B． C．3 D．1 22
?2??1?,N?yy?x?1?1，则N?CRM?( D) x??
C.? D．?1,2? 2.已知R是实数集，M??x B．?0,2? ??A．(1,2)
3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0则，S4?( A) S2
A．5 B．8 C．?8 D．15
- 1 -
5.已知函数f(x)?sin(2x?
的值是(D)
A．?6)，若存在a?(0,?)，使得f(x?a)?f(x?a)恒成立，则a???? B． C． D． 6342
( B ) 6.已知m、n表示直线，?,?,?表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为
（1）????m,n??,n?m,则???
（2）???,????m,????n,则n?m
（3）m??,m??,则?∥?
（4）m??,n??,m?n,则???
A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）
7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若?3?2,等于(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
8.已知三角形?ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为
角形的周长是(D)
A．18 B．21 C．24 D．15
9.函数f(x)?lgx?
A．?0,1? B．?1,10? C．?10,100? D．(100,??)
10.过直线y?x上一点P引圆x?y?6x?7?0的切线，则切线长的最小值为(C) 223，则这个三21的零点所在的区间是(B) x
A．232 B． C． D．2 222
211.已知函数f(x)?x?ax?2b.若a,b都是区间?0,4?内的数，则使f(1)?0成立的概率是
(C)
- 2 -
A．3153 B． C． D． 8448
x2y2
12.已知双曲线的标准方程为??1，F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点，设P 为916
双曲线上不同于A1,A2的任意一点，直线A1P,A2P与直线x?a分别交于两点M,N,若??0,则a的值为(B)
A．1692516 B． C． D． 5995
双曲线 x^2/9-y^2/16=1,
右焦点F(5.0)，A1(-3,0)，A2(3,0)
设P(x,y) M (a,m),N(a,n)
∵P,A1,M三点共线，
∴m/(a+3)=y/(x+3)
∴m=y(a+3)/(x+3)
∵P,A2,N三点共线，
∴n/(a-3)=y/(x-3)
∴n=y(a-3)/(x-3)
∵x^2/9-y^2/16=1
∴(x^2-9)/9=y^2/16
∴y^2/(x^2-9)=16/9
FM向量=(a-5,y(a+3)/(x+3))
FN向量=(a-5,y(a-3)/(x-3))
FM向量*FN向量
=(a-5)^2+y^2(a^2-9)/(x^2-9)
=(a-5)^2+16(a^2-9)/9
∵FM向量*FN向量=0
∴(a-5)^2+16(a^2-9)/9=0
25a^2-90a+81=0
∴a=9/5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答
- 3 -
案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.如图所示的程序框图输出的结果为____2______.
14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其
都在一个球面上，则该
球的表面积为_
_________.
点19? 3第14题图 如图。F,H是上下底的中心，O是FH中点。则：
AB＝2 AE＝√3, AF＝2√3/3 OF＝1/2
OA＝√﹙AF2+OF2﹚＝√﹙19/12﹚
球的表面积＝4π﹙19/12
﹚＝19π/3≈19.89675﹙面积单位﹚
向左转|向右转 第13题图
15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R?2(lgE?11.4)．2011年3月11日，日3
- 4 -
本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 10
16.给出下列命题：
①已知a,b都是正数，且,m32a?1a?，则a?b； b?1b
②已知f?(x)是f(x)的导函数，若?x?R,f?(x)?0，则f(1)?f(2)一定成立； ③命题“?x?R，使得x?2x?1?0”的否定是真命题；
④“x?1,且y?1”是“x?y?2”的充要条件.
其中正确命题的序号是 ①③ .(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） ?xxx已知向量a?(1,cos)与b?(3sin?cos,y)共线，且有函数y?f(x)． 222
2?（Ⅰ）若f(x)?1，求?2x)的值； 3?2
（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，且满足2acosC?c?2b，求函数
f(B)的取值范围.
解：（Ⅰ）∵a与b共线 ??
∴1?xx3sin?cos22cosyx
xxx1?1y?3sincos?cos2?sinx?(1?cosx)?sin(x?)?2222262
∴f(x)?sin(x?????3分 1?1?1，即sin(x?)? ????????????????4分 6262
2????1?2x)?cos2(?x)?2cos2(?x)?1?2sin2(x?)?1?? 33362)??
????????????????6分 （Ⅱ）已知2acosC?c?2b
由正弦定理得：
- 5 -
2sinAcosC?sinC?2sinB?2sin(A?C)
2sinAcosC?sinC?2sinAcosC?2cosAsinC∴cosA? 1?，∴在?ABC中 ∠A? ????????????????8分 32
?1f(B)?sin(B?)? 62
?2???5?∵∠A? ∴0?B?,?B?? ????????????????10分 33666
1?3∴?sin(B?)?1,1?f(B)? 262
3∴函数f(B)的取值范围为(1,] ????????????????12 2
18．（本小题满分12分）
已知等差数列?an?的前n项和为Sn，公差d?0,且S3?S5?50,a1,a4,a13成等比数列． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设??bn??是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的前n项和Tn. ?an?
解：（Ⅰ）依题意得
3?24?5?d?5a1?d?50?3a1? ????????????????2分 22??(a?3d)2?a(a?12d)11?1
解得??a1?3， ????????????????4分 d?2?
?an?a1?(n?1)d?3?2(n?1)?2n?1，即an?2n?1．???????????6分 (Ⅱ)bn?3n?1，bn?an?3n?1?(2n?1)?3n?1 ????????????????7分 an
Tn?3?5?3?7?32???(2n?1)?3n?1
3Tn?3?3?5?32?7?33???(2n?1)?3n?1?(2n?1)?3n????????9分 ?2Tn?3?2?3?2?32???2?3n?1?(2n?1)3n
- 6 -
3(1?3n?1)?3?2??(2n?1)3n
1?3
??2n?3n
∴
Tn?n?3n ????????????????12分
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥A?BCDE，其中AB?BC?AC?BE?1，CD?面ABC，CD?2，BE∥CD，F为AD的中点.
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：面ADE?面ACD；
（III）求四棱锥A?BCDE的体积.
解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，
∵F,G分别是AD,AC的中点 C
D E D 1∴FG∥CD,且FG=DC=1 ． 2
∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG． ???????????2分 E
EF?面ABC,BG?面ABC
∴EF∥面ABC ???????????4分
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC,BG?面ABC ∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，
∴BG⊥面ADC ． ????????????????6分
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC ． ????????????????8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ． C B
131333VA?BCDE?VE?ABC?VE?ACD???1??1????．?????????12分 34321264
- 7 -
另法：取BC的中点为O，连结AO，则AO?BC，又CD?平面ABC,
∴CD?AO,BC?CD?C , ∴AO?平面BCDE，∴AO为VA?BCDE的高，AO?(1?2)?13133． ,SBCDE??,?VA?BCDE????2223224
20.（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方
??程y4139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误x?1326差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．
解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种． ????????????????3分
所以P(A)?1022?．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ?????????6分 3153
4139219219?10??,|?10|?2; ??????????????9分 13262626
4139379379?30??,|?16|?2; 13262626??(Ⅱ) 当x?10时，y?? 当x?30时，y
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． ????????????????12分
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?ax?b在点(?1,f(?1))的切线方程为x?y?3?0. 2x?1
- 8 -
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）设g(x)?lnx，求证：g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立.
解：（Ⅰ）将x??1代入切线方程得y??2
∴f(?1)?b?a??2，化简得b?a??4． ????????????????2分 1?1
a(x2?1)?(ax?b)?2xf?(x)? 22(1?x)
f?(?1)?2a?2(b?a)2bb????1 ． ????????????????4分 442
解得：a?2,b??2
2x?2 ． ????????????????6分 2x?1
2x?2（Ⅱ）由已知得lnx?2在[1,??)上恒成立 x?1∴f(x)?
化简得(x?1)lnx?2x?2
即xlnx?lnx?2x?2?0在[1,??)上恒成立 ． ????????????????8分 设h(x)?xlnx?lnx?2x?2， 222
h?(x)?2xlnx?x?1?2 x
x?1?2，即h?(x)?0． ????????????????10分 x∵x?1 ∴2xlnx?0,
∴h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)?h(1)?0
∴g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立 ． ????????????????12分
22.（本小题满分14分）
实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F1,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1?AF2，△AF1F2的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若?2,求直线l的斜率k.
x2y2
解（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，AF1?m,AF2?n ab
?m2?n2?4c2
??由题意知?m?n?43 ????????????????2分 ?mn?6??
解得c?9，∴b?12?9?3． 22
x2y2
∴椭圆的方程为??1 ????????????????4分 123
∵yA?c?3，∴yA?1,代入椭圆的方程得xA?22，
将点A坐标代入得抛物线方程为x2?8y． ????????????????6分
（2）设直线l的方程为y?1?k(x?22)，B(x1,y1),C(x2,y2) 由?2 得x2?22?2(x1?22)， 化简得2x1?x2?22 ????????????????8分 ??y?1?k(x?22)联立直线与抛物线的方程?， 2??x?8y
得x?8kx?162k?8?0 ∴x1?22?8k① ????????????????10分 2
??y?1?k(x?22)联立直线与椭圆的方程? 22??x?4y?12
得(1?4k)x?(8k?162k)x?32k?162k?8?0 2222
162k2?8k∴x2?22?② ????????????????12分 1?4k2
162k2?8k?22?22 ∴2x1?x2?2(8k?22)?21?4k
整理得：(16k?42)(1?2k)?0 1?4k2
- 10 -
∴k?22 ，所以直线l的斜率为 ． ????????????????14分 44
- 11 -
