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病态矩阵
ill-conditioned matrix
求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组A=时，若对于系数矩阵A及右端项的小扰动A,方程组(A+A)=+的解与原方程组A=的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解一般都不可能恰好使剩余=-A为零，[kg2]这时亦可看作小扰动问题[kg2]A=-(即A=0，=-)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。例如，取
[27-1]当以 [27-3] 作为近似解时，剩余 ＝[27-4]已很小,[kg2]但与真解[27-5]仍相差很远。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看数值(A)＝‖A‖‖A‖的大小,[kg2]其中A为矩阵A的逆，‖‖表示对矩阵取某一种范数。(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
对小扰动问题 (A+A)[kg2]=+与原问题A=的解有估计式
[27-7]对矩阵求逆亦有估计式
[27-8]从上估计式可以看出条件数对解方程组及矩阵求逆的影响。
希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵，其定义为
[27-9],式中
[27-10]。 由于对称正定,当取‖‖为欧氏范数时,()即为的最大与最小特征值之比。对=7,8,9,10有
()=4.75×10,
()=1.53×10,
()=4.93×10,
()=1.60×10。当较大时,[kg2]有近似表达式()～e(。在一台相当于10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解方程组时,如8，则所得解答连一位准确数字都没有。
何旭初
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