爱华网∵AB1⊥BC1，∴由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，由三垂线逆定理可知BC1⊥EF．∴∠DEF是二面角α的平面角，设为θ，设AC=a，
1 则CD=a，∵△ABC是正三角形． 2
∴在Rt△DCF中，DF=DC·sin∠DCF=3a，4
CF=DC·cos∠DCF=1a．4
取BC的中点G，∵EB=EC∴GE⊥BC．
31在Rt△BEF中，EF=BF·GF，又BF=BC－FC=a，GF=a，44 31DF∴EF2=a·a，∴EF=a．∴tan∠DEF==1 ∴∠DEF=45°．444EF2
故二面角α为45°
点评：要善于从不同角度观察某一几何体，这是考查空间想象能力的重要方面，把一个正三棱柱放倒之后，其性质是不改变的，如B1BCC1是矩形，面ABC⊥面B1BCC1等，应正确识别．
(1)的证明，体现了将证线面平行转化为证线线平行的转化思想；
(2)的解答，是通过作出二面角的平面角，将立体几何问题转化为平面几何的有关计算问题来解决的．
(六)解立体几何计算题的一般方法
1．几何计算题的结构是根据已知的若干几何量或位置关系推求另一些几何量．而已知的位置关系通常也要转化为几何量
最基本的几何量有两个：线段和角．其他几何量或者用线段和角来定义，或者可表示成线段和角．例如，两点间的距离，点到平面的距离其本身就是线段的长；异面直线所成的角，直线与平面所成的角，是直接用角来表述的概念；而求积公式也都可以用线段或角来表示．
由上述可知，几何计算题的结构实为根据已知的线段和角推算未知的线段和角．为此，解几何计算题必须了解和运用由线段和角构成的关系式(即以线段和角为未知量而构成的多元方程)．满足这个需要的基本知识多是三角形的边角关系(锐角或钝角的三角函数，正弦定理，余弦定理等)．所以，解几何计算题的一般方法是，把题中的线段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的结果．
所以，解几何计算题的过程大多是一连串的解三角形的过程，而解三角形的过程又是解方程(组)的过程．
解几何计算题的一般方法与解几何证明题的一般方法一样，也是从题目自身的特点得出的．由于计算过程就是推算过程，当我们寻求计算题的已知条件与未知量的联系时，也要使用综合法及分析法．
2．已知条件与图形的形状和大小
这里所说的“形状”不是通常指的某个三角形是直角三角形还是等腰三角形等意思，而是与相似相联系的，就是说形状相同的两个图形是相似的．这里所说的“大小”指的是面积及体积．
解一个几何计算题，在下手计算之前如能弄清图形的形状大小，就会有助于对问题进行总体的分析．所给图形的形状大小决定于所给的条件，由此，几何计算题可分为以下四种基本类型：
(1)形状和大小都确定；(2)形状确定，大小不定；(3)大小确定，形状不定；(4)形状和大小都不确定，
对第(1)种类型来说，若依照已知条件分别画出两个图形F和F′，则F≌F′，即F与F′重合，为了简便起见，本节以下将称这种类型的图形是确定的图形．
对第(2)种类型来说，若依照已知条件画出两个图形F和F′，则F～F′，本节今后将称这种类型的图形的形状是确定的．
第(1)，(2)两种类型的计算题是常见的，也是比较重要的，下面通过例题加以说明．
【例7】如图1，P是二面角α－AB－β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α－AB－β的大小是多少？
点拨：图1，是一个形状确定的图形，这是因为∠BPM=45°，所以射线PM在α内的位置是确定的，同理PN在β内的位置也是确定的．
若角MPN的大小不定，即PM与PN的相互位置关系不定，则由AB，PM所决定的平面α和由AB，PN所决定的平面β的相互位置关系不可能确定，从而二面角α－AB－β的大小也就不能确定了，但在已知条件有∠MPN=60°，即PM与PN的相互位置关系确定，从而二面角α－AB－β的大小确定．可见，由已知条件是可以推算出二面角α－AB－β的大小． 在PM上取一点M，作MC⊥AB交AB于点C，在β内再作CN⊥AB交AN于点N(图2)，∠MCN就是二面角的平面角，连接MN则图2就可以变成一个形状确定的四面体PMNC． 四面体共有六条棱，设四面体PMNC的任一条棱长为a，则其他5条棱都可以用a来表示，这样，我们就可以把四面体PMNC(暂时)变成一个大小也确定的图形，从而借助三角形解法就可推算出∠MCN的大小．
解 设PC=a，则CM=a，CN=a，PM=2·a，PN=2a，
在△PMN中，由于∠MPN=60°，所以△PMN是一个等边三角形．
∴MN=在△MCN中，由于CM=CN=a，MN=2·a，
∴△MCN是一个等腰直角三角形，∠MCN=90°． ∴二面角α－AB－β=90°
【例8】如图1，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E．又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．
点拨：先来考虑三棱锥S－ABC的形状大小问题．
根据SA⊥底面ABC，SA=AB，可知△SAB是等腰直角三角形，其形状确定，现在不防假设这个等腰直角三角形的位置也固定．
由于AB⊥BC，并且SB=BC，则线段BC的位置也是固定的，从而点C的位置以及线段SC和线段AC的位置也确定．
这就是说，当任意一个等腰直角三角形的位置确定以后，点C的位置就随之而定．事实上，△SBC也是一个等腰直角三角形，当等腰直角三角形SAB的位置确定以后，等腰直角三角形SBC的位置也随之确定．可见，三棱锥S－ABC是一个形状确定大小不定的几何体．
又，由于E是SC中点，且ED⊥SC交AC于D，所以点D的位置也是确定的．
根据以上分析，可以断定，从已知条件可以推算出图1中任意两条线段所成的角以及任意两条线段所成比．
解法1：连接DE(图2)．
设SA=1，则AB=1，SB=2，BC=2，SC=·2=2
在Rt△SAC中，AC=SC?SA?2?1?32222
∵EB是Rt△SBC斜边SC上的中线，
∴EB=1，连结SD，则SD平分∠ASC，∠ASD=∠DSE=30°．
11在Rt△DES中，DE=SEtan30°=1×?3，∴AD=DE=，从而333 12CD=AC－AD=?3?．现在，在Rt△ABC中，我们来计算BD的长．331
设BD=x(图3)．
在△BDC中有
x2=CD2＋BC2－2CD·BC·cos∠BCD(cos∠BCD=
BC2)=(3)2?AC3
24821(2)2－2×3××=＋2－=，∴x=6333333
21423)2?(6)2??=2=(2)2=BC2 3333
∴∠CDB=90°，从而CD⊥BD． 在△BDC中，有CD2＋BD2=(
在△BDE中，有 BD2＋DE2=(136)2?()2=1=BE2 33
∴∠BDE=90°，从而ED⊥DB． ∴∠EDC是所求二面角的平面角．
在Rt△DEC中，∵∠DCE=30°，∴∠EDC=60°∴所以二面角的度数为60°．
解法2：∵SA⊥底面ABC，且AB⊥BC，∴根据三垂线定理有SB⊥BC，从而△SBC为等腰直角三角形，又因E为SC的中点，∴BE⊥SC．
由已知，ED⊥SC，∴SC⊥平面DBE，∴BD⊥SC，又BD⊥SA，
∴BD⊥平面SAC，即平面SAC垂直于二面角E－BD－C的棱BD，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
设SA=1，则根据已知条件有AB=1，SB=2，BC=，SC=·2=2，
∵在Rt△SAC中，∠ACS=30°，在Rt△DEC中，∠EDC=60°。
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