爱华网几何：关于三角形的一些概念
［学习目标］
代数：掌握运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解。
几何：理解三角形的基本概念并会画出三角形的高、中线、角平分线。
二. 重点、难点：
（一）重点：
1. 代数：用公式法分解因式。
2. 几何：理解基本概念，会画三条重要线段。
（二）难点：
1. 代数：正确地运用公式分解因式。
2. 几何：画出三角形的三条重要线段，特别是钝角三角形的高。
三. 内容概要：
［代数］用公式法分解因式
1. 平方差公式：
（1）公式特点：左边是平方差的形式，右边是两数和与差的乘积。
（2）符号含义：公式中的符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。
（3）应用公式的条件：多项式可以写成两部分的平方差的形式，即。
2. 完全平方公式：
（1）公式特点：左边是一个三项式，两个数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，右边是这两个数和（或差）的平方。
（2）符号含义：公式中符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。
（3）应用公式的条件：多项式可以写成三部分，符合以下条件：
3. 解题步骤：
（1）观察多项式，如果能提公因式，先提公因式。
（2）观察多项式，只有使多项式符合公式特点，才能利用公式因式分解。
（3）在因式分解的结果中，保证每一个因式都不能再分解。
［几何］
1. 三角形基本概念：三角形、边、角、顶点
2. 三角形的三条重要线段：
（1）三角形的角平分线
（2）三角形的中线
（3）三角形的高
①锐角三角形
②直角三角形
③钝角三角形
【典型例题】
例1. 将分解因式。
分析：式中没有明显的平方差结构，但提取公因式x后，剩下的因式就可以用平方差公式。
解：
——等价变形
——合并同类项
小结：先提取公因式，再利用平方差公式。
例2. 将分解因式。
分析：该多项式有三部分，但没有明显的完全平方结构。如果提取公因式，就可用完全平方式了。
解：
小结：提公因式与完全平方公式混合使用分解因式。
例3. 将分解因式。
分析：该多项式有三项，二项平方和，另一项是，的积的2倍，符合完全平方差公式。
解：
——要保证因式不可再分解
小结：平方差公式、完全平方差公式混合使用。
例4.
分析：该多项式有二项，符合平方差公式的结构，由平方差公式得，则都是完全平方式，可再用完全平方式把因式分解到最简。
解：
——完全平方式
小结：平方差公式、完全平方公式混合使用。
例5. 计算：
分析：这道题可直接计算，但比较繁琐。仔细观察，该式有两项，且是两项的平方差，所以可用平方差公式因式分解，再计算。
解：
——平方差公式
小结：利用公式因式分解后再计算，可使计算简便。
例6. 判断对错，对的打“√”号，错的打“×”号。
（1）三角形的顶点到对边的距离是三角形的高。（ ）
（2）三角形的高所在直线交于一点，这点不是在三角形内，就是在三角形外。（ ）
（3）过三角形的一个顶点和它对边中点的直线是三角形的中线。（ ）
（4）三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。（ ）
（5）三角形的角平分线就是三角形内角的平分线。（ ）
解：（1）×。因为高是一条线段，高的长度才是三角形的顶点到对边的距离。
（2）× 。锐角三角形的高交于三角形内部。
钝角三角形的高的延长线交于三角形外部。
直角三角形的高交于三角形的直角顶点。
（3）×。中线是线段。
（4）√
（5）×。角平分线是线段，不是直线。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 将下列各项因式分解。
（1）
（2）
（3）
（4）
二. 计算：
（1）
（2）
（3）已知：，求：的值。
三. 证明题。
（1）求证：能被120整除。
（2）若a为大于1的整数，证明能被6整除。
四. 判断题。
（1）三角形的高是一条线。（ ）
（2）三条线段组成的图形叫做三角形。（ ）
（3）三角形三条高都在三角形内部。（ ）
（4）三角形的角平分线是射线。（ ）
五. 解答题。
1. 写出含有AC边的所有三角形，图中共有几个三角形？
2. 已知三角形三边为连续整数，且最小边长既是偶数又是质数，求三边长。
3. △ABD的高与△ABC的高相等，若AB＝4cm，△ABC的面积，求△ABD中AB边上的高。
【试题答案】
一. 将下列各式因式分解。
（1）
（2）
（3）
（4）
二. 计算。
（1）原式
（2）原式
（3）
∴原式
三. 证明题。
（1）
故能被120整除
（2）
是三个连续整数
是6的倍数
能被6整除
四. 判断题。
（1）× （2）× （3）× （4）×
五. 解答题。
1. 含有AC边的三角形：△AFC、△ADC、△AEC、△ABC，图中共有9个三角形。
2. 既是偶数又是质数的数是2，∴三边长为2，3，4。
3. 在△ABC中，AB边上的高
而△ABD中AB边上的高与△ABC中AB边上的高相等
∴△ABD中AB边上的高为6cm
