爱华网2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，
每小题5分，共50分）．
??????1．设a，b是向量，命题“若a??b，则|a|?|b|”的逆命题是 （ ）
????????（A）若a??b，则|a|?|b| （B）若a??b，则|a|?|b|
????????（C）若|a|?|b|，则a??b （D）若|a|?|b|，则a??b
【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
????【解】选D 原命题的条件是a??b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|?|b|，作为逆
????命题的条件，即得逆命题“若|a|?|b|，则a??b”，故选D．
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是 （ ）
（A）y??8x （B）y?8x （C）y??4x （D）y?4x
【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．
【解】选B 由准线方程x??2得?
所以y?2px?8x． 22222p，??2,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴）2
3．设函数f(x)（x?R）满足f(?x)?f(x)，f(x?2)?f(x)，则函数y?f(x)的图像是 （ ）
【分析】根据题意，确定函数y?f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
【解】选B 由f(?x)?f(x)得y?f(x)是偶函数，所以函数y?f(x)的图象关于y轴对
称，可知B，D符合；由f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
4．(4?2)（x?R）展开式中的常数项是 （ ）
（A）?20 （B）?15 （C）15 （D）20
【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.
【解】选C Tr?1?C6(4)rx6?rrr(2?x)r?C6?22x(6?r)?2?xr?C6?212x?3xr，
4x?x6令12x?3xr?0，则r?4，所以T5?C6?15，故选C．
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
（A）8?
（B）8?2? 3?
3
（C）8?2?
（D）
【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的
组成和有关几何体体积公式进行计算．
【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，
即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是 2? 3
18?. V?23????22?2?8?33
6
．函数f(x)?cosx在[0,??)内 （ ）
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。
【解】选B （方法一）数形结合法，
令f(x)?osx，
cosx?0，
?c设函数y?和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以
函数f(x)?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；
（方法二）在x?[
在x?
(0,?2,??
)?1，cosx?
1，所以f(x)?cosx?0； ?sinx?
0，所以函数f(x)?cosx是增函数，又因为?
2]，f?(x)?
f(0)??
1，f()?2
??
0，所以f(x)?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点． 2?
7．设集合M?{y|y?|cosx?sinx|,x?
R}，N?{x||x?|?
则M?N为（ ）
（A）（0，1） （B）(0，1] （C）[0，1) （D）[0，1] 221i，i为虚数单位，x?R}，
【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。
【解】选C y?|cosx?sinx|?|cos2x|?[0,1]，所以M?[0,1]；
因为|x?|?
221
i||x?i|?
，即|x?(?i)?，又因为
x?R，所以?1?x?1，即N?(?1,1)；所以M?N?[0,1)，故选
C.
8．右图中，x1，x2，x
3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评
分，p为该题的最终得分，当x1?6，x2?9，p?8.5时，x3等于（ ） （A）11 （B）10 （C）8 （D）7
【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件|x3?x1|?|x3?x2|是否成立是解答本题的关键．
【解】选C x1?6，x2?9,|x1?x2|?3?2不成立,即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x3?x1|?|x3?x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x3?7.5时，|x3?x1|?|x3?x2|成立，即为“是”，此时x2?x3，所以p?
x1?x36?x3
，即?8.5，解得x3?11?7.5，不合题意；当x3…7.5时，22
x?x2x?9
|x3?x1|?|x3?x2不成立，即为“否”|，此时x1?x3，所以p?3，即3?8.5，解
22
得x3?8?7.5，符合题意，故选C．
9．设(x1,y1),(x2,y2)，?，(x3,y3)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间
（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)
【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D
10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）
（A）1151 （B） （C） （D） 963636
【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．
【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A6?A6（种）；最后一小时他们同在
33A5?A5?61?． 一个景点的情形有A?A?6（种），所以P?44A6?A663
53544
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
lgx??11．设f(x)??ax??3t2dt?0?x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口.
【解】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为f(x)?x?
所以f
(0)?a，所以a?1，a?1．
【答案】
1
12．设n?N?，一元二次方程x?4x?
n?0有整数根的充要条件是n?
． ．．
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
【解】x?23?a03t2dt?x?a3， 3?2?，因为x是整数，即2?，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4时，
整数，且n?4，又因为n?N?，取n?1,2,3,4
可推出一元二次方程x2?4x?n?0有整数根． ．．
【答案】3或4
13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
??
照此规律，第n个等式为 .
【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
?? ?? ??
所以n?(n?1)???[n?(2n?1)?1]?(2n?1)，
即n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)
【答案】n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．
【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图）， 222
