爱华网2012江苏高考数学试卷答案与解析
一.填空题：
1．已知集合A?{1，2，4}，B?{2，4，6}，则A?B?．
【答案】 ?1 ,2,4,6?
【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为?1,2,4,6?.
【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】15
【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：50?3?15人，答案 15 . 10
【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．
3. 设a，b?R，a?bi?
【答案】8
【解析】据题a?bi?
从而 a?b?8.
【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.
4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是．
11?7i（i为虚数单位），则a?b的值为 ▲ ． 1?2i11?7i(11?7i)(1?2i)25?15i???5?3i，所以 a?5,b?3, 1?2i(1?2i)(1?2i)5
【答案】5
【解析】根据循环结构的流程图，当k?1时，此时k2?5k?4?0；不满足条件，继续执行循环体，当k?2时，k2?5k?4??6；不满足条件，继续执行循环，当k?3时，k2?5k?4??2不满足条件，然后依次出现同样的结果，当k?5时，此时k2?5k?4?4，此时满足条件跳出循环，输出k的值为5．
【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．
5.
函数f(x)的定义域为．
【答案】 ?【解析】根据题意得到 1?2log6x?0，同时，x＞0 ，解得log6x?
又x＞0
，所以函数的定义域为： . 1，解得x?6，2?【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函——www.niubb.net——数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.
6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，?3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】3 5
【解析】组成满足条件的数列为：1,?3,9.?27,81,?243,729,?2187,6561,?19683.从中随机
取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
3. 5
【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.
7．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm，AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为 cm3.
【答案】6cm3
DA11 B1
C
D1A1
DA
O
B
C1B1
C
【解析】如图所示，连结AC交BD于点O，因为 平面ABCD?BB1D1D，又因为
AC?BD，所以，AC?平面BB1D1D，所以四棱锥A?BB1D1D的高为AO，根据题
意AB?AD?3cm，所
以AO?
32
，又因为BD?，AA1?2cm
，故矩形2
1BB1D1D的面积为2，
从而四棱锥A?BB1D1
D的体积V???6cm3.
3【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面
的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥A?BB1D1D的高为AO，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.
x2y2
8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线则m的值为 ▲ ． ??1，mm2?
4
【答案】2
【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x轴上（否则不成立），因此m＞0，由离心率m?m2?4公式得到?5，解得 m?2 . m
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.
9. 如图，在矩形ABCD
中，AB?BC?2，点E为BC的中点，点F在边 CD
上，若????????????????AB?AF?AE?BF的值是．
【答案】2
【解析】根据题意AF?BC?DF,所以
???AB?AF?AB?(BC?DF)?AB?BC?AB?DF?AB?DF?AB?DFcos0????????????????从而得到DF?1，又因为AE?AD?DF,BF?BC?CF，所以
2??????
AE
?BF?(AD?DF)?(BC?CF)?BC?0?0?DF?CFcos180??2.
?????????
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到DF?1，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目. ?
?1≤x?0，?ax?1，?10. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，1]上，f(x)??bx?2，0≤x≤1，??x?1
其中a，b?R．若f???f??，则a?3b的值为 ▲ ．
【答案】?10 .
【解析】因为f???f??，函数f(x)的周期为2，所以 ?1??2??3??2??1?
?2??3??2?
131?得到3a?2b??2， f()?f( ?2)?f(?)，根据f(x)??bx?2，0≤x≤1，222??x?1
又f(1)?f(?1)，得到?a?1?
所以a?3b??10.
【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为f()?f(
题，难度适中.
11. 设?为锐角，若cos????1≤x?0，?ax?1，b?2,即2a?b?0，结合上面的式子解得a?2,b??4，21231?2)?f(?)然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档22?
????4?，则sin(2??)的值为． ?6?512
【答案】172 50
?
?【解析】根据cos?????167??42， ?1???，cos(2??)?2cos(??)?1?2?6?5362525
24?7?，因为sin(2??)?1????325?25?因为cos(2???
3)?0，所以 ?2
sin(2???
12)?sin[(2???
3)??
4]?sin(2??
?3)cos?4?cos(2???3)sin?4?172. 50
【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.
12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 【答案】4 3
2【解析】根据题意x2?y2?8x?15?0将此化成标准形式为：?x?4??y2?1，得到，该圆的
圆心为M?4,0?半径为1 ，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M?4,0?到直线y?kx?2的距离d?1?1，即可，所以有d?4k?2
k2?1?2，化简得k(3k?4)?0解得0?k?44，所以k的最大值是 . 33
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心M?4,0?到直线y?kx?2的距离d?1?1即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.
b?R)的值域为[0，13. 已知函数f(x)?x2?ax?b(a，??)，若关于x的不等式f(x)?c的
解集为(m，m?6)，则实数c的值为 ▲ ．
【答案】9
【解析】根据函数f(x)?x?ax?b?0，得到a2?4b?0，又因为关于x的不等式2
f(x)?c，可化为：x2?ax?b?c?0，它的解集为?m,m?6?，设函数f(x)?x2?ax?b?c图象与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2，则x2?x1?m?6?m?6，从而，(x2?x1)2?36，即(x1?x2)2?4x1x2?36，又因为 x1x2?b?c,x1?x2??a，代入得 到 c?9.
【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.
二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.
14. 已知正数a，b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则
【答案】?e,7?
【解析】
b的取值范围是 ▲ ． a
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价——好文章——.本题属于中高档题，难度较大.
二、解答题
15. （本小题满分14分）
????????????????在?ABC中，已知AB?AC?3BA?BC．
（1）求证：tanB?3tanA；
（2
）若cosC?
【答案及解析】 求A的值．
【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，E分别是棱
（点D 不同于点C），且AD?DE， F为B1C1的中点．BC，CC1上的点
求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；
（2）直线A1F//平面ADE．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．
17. （本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?1(1?k2)x2(-好文章-k?0)表示的曲线上，其20
中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．
18．（本小题满分16分）
已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；
（3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数．
【答案及解析】
【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值 点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．
19. （本小题满分16分）
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c，0)，ab
?都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． e)和?eF2 (c，0)．已知(1，
??（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
（i
）若AF1?BF2?AF1的斜率； （第19题） （ii）求证：PF1?PF2是定值．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件AF1?BF2?时，需要注意直线AF1和直线BF2平行这个条件.本题属于中档题．
20. （本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列{an}和{b
n}满足：an?1?6 2n?N?．
2????bbn???n（1）设bn?1?1?，n?N，求证：数列????是等差数列； aan???n???
（2
）设bn?1?【答案与解析】 bn，nwww.niubb.com?N?，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an
【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，
【答案与解析】
（第21-A题）
【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?13???44?，求矩阵A的特征值． 已知矩阵A的逆矩阵A?1???11????2??2?
【答案与解析】
【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分 ）
在极坐标中，已知圆C
经过点P
——http://www.niubb.net/——求圆C的极坐标方程．
【答案与解析】
???，圆心为直线?sin???34??
?
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线?sin(???
3)??3与极轴的交点，2
考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y满足：|x?y|?
【答案与解析】
115，|2x?y|?，求证：|y|?． 3618
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.
22．（本小题满分10分）
设?为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，??0；当两条棱平行时，?的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，??1．
（1）求概率P(??0)；
（2）求?的分布列，并求其数学期望E(?)．
【答案与解析】
【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意?的取值情况，不要遗漏?的取值情况．
23．（本小题满分10分）
?设集合Pn?{1，2，…，n}，n?N．记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A?Pn；②若x?A，则2x?A；③若x?ePnA，则2x?ePnA．
（1）求f(4)；
（2）求f(n)的解析式（用n表示）．
【答案与解析】
【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补
集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难 度适中.
