爱华网命题热点三 立体几何与空间向量
（理科）高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.
（文科）高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.
预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于
A． B．2
C． D．6
解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2，高是1，所以其侧面积等于，故选D.
动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质.
预测2.平面与平面相交，直线，则下列命题中正确的是
A. 内必存在直线与平行，且存在直线与垂直
B. 内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直
C. 内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直
D. 内必存在直线与平行，却不一定存在直线与垂直
解析：假设，由于，所以必有，因此在内必存在直线与垂直；当时，可存在直线与平行，当与不垂直时，在内一定不存在直线与平行.故选B.
动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握相关的定理，善于利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例对命题进行否定.
预测3.（理科）正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．
解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，
∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的中点M，这时EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.
在Rt△EMN中，EM=1，MN=，∴tan∠MNE=，cos∠MNE=.
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，
证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE.
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则 即，
，所以二面角E—DF—C的余弦值为；
（Ⅲ）设，
又，
把，
所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE.
动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度.
预测3.（文科）如图，平行四边形中，，，且，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
（Ⅰ）证明：平面平面，交线为，
，∴，∴，
又，∴；
（Ⅱ）证明：连结，则是的中点，∴中，，又，
∴，∴平面 ；
（Ⅲ）解：设中边上的高为，依题意：，
∴，即：点到平面的距离为，
∴.
动向解读：本题主要考查立体几何中的综合问题，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间几何体表面积、体积的计算求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度.
