解析几何高考题汇编 2011年高考分类汇编之解析几何（十二）

天津文

13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．

【解】．

由题设可得双曲线方程满足，即．

于是．又抛物线的焦点为，则．与

，于是．所以双曲线的方程．

14．．已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆 的方程为　　　　　　　　　．

【解】．

直线与轴的交点为．

于是圆心的坐标为；

因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，

因此．

所以圆的方程为．

21．（本小题满分分）

已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．

(ⅰ) 若,求直线的倾斜角;

(ⅱ)点在线段的垂直平分线上，且．求的值．

【解】（Ⅰ）由得，再由得．

因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，

所以，则，

解方程组得．所以椭圆的方程．

（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得.设点的坐标为，

由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。

于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得

，因为是方程的一个根，则由韦达定理有

，所以，从而．

，由，得，

整理得　，，所以．

所以直线的倾斜角为或．

(ⅱ)线段的中点为，则的坐标为．

下面分情况讨论：

(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．

于是，，由得．

(2) 当时，线段的垂直平分线方程为

．令得

由，，

．整理得．．所以．

综上，或．

浙江理

5．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，    点M在双曲线上且M F1 x轴，则F1到直线F2M的距离为        C

A．                B．

C．                   D．

7．已知圆C：，若过点（1，）可作圆的切线有两条，则实数m的取值范围是                                                                C

A．     B．（,4）      C．          D．

10．是两个定点，点为平面内的动点，且（且），点的轨迹

围成的平面区域的面积为，设（且）则以下判断正确的是

A．在上是增函数，在上是减函数

B．在上是减函数，在上是减函数

C．在上是增函数，在上是增函数

D．在上是减函数，在上是增函数

A

21．（本小题满分15分）

如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.。

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.

由y=x2，   ①        得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k切= x1，

∴直线l的斜率kl=－=-，

∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，

方法一：

联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.      ∵M是PQ的中点

     ∴  x0==-，  y0=x12－(x0－x1).   ∴y0=x02++1(x0≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

方法二：

由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，

则x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则

.

方法一：

∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法二：

∴=|b|=|b|.

当b>0时，=b==+2>2；

当b<0时，=－b=.

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，

于是k2+2b>0，即k2>－2b.

所以>=2.∵当b>0时，可取一切正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，

即=.则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).

于是b==－x1x2.

∴==+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正数，

∴的取值范围是（2，+）.

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