爱华网（1）----曲线运动、万有引力
1)平抛运动
1.水平方向速度：Vx＝Vo 2.竖直方向速度：Vy＝gt
3.水平方向位移：x＝Vot 4.竖直方向位移：y＝gt2/2
5.运动时间t＝(2y/g）1/2(通常又表示为(2h/g)1/2)
6.合速度Vt＝(Vx2+Vy2)1/2＝[Vo2+(gt)2]1/2
合速度方向与水平夹角β:tgβ＝Vy/Vx＝gt/V0
7.合位移：s＝(x2+y2)1/2,
位移方向与水平夹角α:tgα＝y/x＝gt/2Vo
8.水平方向加速度：ax=0；竖直方向加速度：ay＝g
注：
(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成；
(2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关；
（3）θ与β的关系为tgβ＝2tgα；
（4）在平抛运动中时间t是解题关键；(5)做曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2）匀速圆周运动
1.线速度V＝s/t＝2πr/T 2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf
3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合
5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ωr
7.角速度与转速的关系ω＝2πn(此处频率与转速意义相同)
8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径®:米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。
注：
（1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心；
（2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。
3)万有引力
1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝
2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11Nm2/kg2，方向在它们的连线上）
3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝
4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝
5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s
6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝
注:
(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万；
(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等；
(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同；
(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）；
(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。
一、选择题
1．一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在 3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动？(保留两位有效数字)
甲同学的解法是：设摩托车恰好在3 min时追上汽车，则1/2at^2＝vt＋x0，代入数据得a＝0.28 m/s2.
乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30 m/s，则(vm)^2＝2ax＝2a(vt＋x0)，代入数据得a＝0.1 m/s2.
你认为他们的解法正确吗？若错误，请说明理由，并写出正确的解法．
解析：甲错，因为vm＝at＝0.28×180 m/s＝50.4 m/s>30 m/s
乙错，因为t＝vm/a＝30/0.1) s＝300 s>180 s
正确解法：摩托车的最大速度vm＝at1
解得a＝0.56 m/s2
答案：甲、乙都不正确，应为0.56 m/s2
2．四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，在2 s末能回到出发点的是
解析：根据速度—时间图象所围的“面积”表示位移，时间轴以上的“面积”表示正向位移，时间轴以下的“面积”表示负向位移，总位移为两位移的代数和，可知A、D正确，B、C错误．
答案：AD
3．如下图是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是( )
A. OA段运动速度最大
B. AB段物体做匀速运动
C. CD段的运动方向与初始运动方向相反
D．运动4 h汽车的位移大小为30 km
解析：由图象的斜率可知CD段的运动方向与初始运动方向相反且速度最大，A错C对；AB段表示汽车处于静止状态，B错；运动4 h汽车的位移为零，D错．
答案：C
4．一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度图线如下图所示．下列选项正确的是( )
A．在0～6 s内，物体离出发点最远为30 m
B．在0～6 s内，物体经过的路程为40 m
C．在0～4 s内，物体的平均速度为7.5 m/s
D．在5～6 s内，物体所受的合外力做负功
解析：物体前5 s向正方向运动，5～6 s返回，即向负方向运动．由前5 s图象与坐标轴围成的梯形面积可求位移x＝(2＋5×10)/2 m＝35 m，即物体离出发点最远是35 m，A错误；由5～6 s图象围成的三角形面积可计算位移x＝1/2×(6－5)×10 m＝5 m，所以物体经过的路程为40 m，B正确；0～4 s的位移x＝(4－2＋4×10)/2 m＝30 m，平均速度v＝x/t＝30/4 m/s＝7.5 m/s，C正确；5～6 s内物体沿负方向做加速运动，力的方向与位移方向相同，合力做正功，D错误．
答案：BC
5．物体A、B的x－t图象如下图所示，由图可知( )
A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA>vB
B．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动
C．在5 s内物体的位移相同，5 s末A、B相遇
D. 5 s内A、B的平均速度相等
解析：x－t图象的斜率的大小表示物体运动的速度大小，斜率的正负表示物体运动的方向，由题图可知，A正确；B物体的出发点在离原点5 m处，A物体的出发点在原点处，B错误；物体B在5 s内的位移为10 m－5 m＝5 m，物体A在3～5 s内的位移为10 m，故C、D均错误．
答案：A
6．如下图所示，以8 m/s的速度匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度大小为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的有( )
A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线
B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速
C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线
D．如果距停车线5 m处减速，汽车能停在停车线处
解析：如果汽车立即做匀加速运动，2 s内速度可以达到12 m/s，小于允许行驶的最大速度12.5 m/s，汽车的位移x＝20 m>18 m，可知A项正确，B项错误．如果立即做匀减速运动，2 s内的位移x＝6.4 m，故C项对，D项错．
答案：AC
7．如下图所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B. 0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C. 0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D. 0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析：在x—t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹，由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错．在v—t图象中，t2时刻丙、丁速度相等，故两者相距最远，C选项正确．由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误．
答案：C
8．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如下图所示，由图可知( )
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B. t＝20 s时，乙追上了甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
解析：从题图看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20 s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20 s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20 s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20 s，D选项错误．
答案：C
二、计算题(3×12′＝36′)
9．某同学星期日沿平直的公路从学校所在地骑自行车先后到甲、乙两位同学家去拜访他们，x－t图象如下图甲所示，描述了他的运动过程，在图乙中画出它的v－t图象．
解析：(上午)9时，他从学校出发，骑车1 h到达甲同学家，速度v1＝15 km/h，在甲同学家停留1 h；11时从甲同学家出发，12时到达乙同学家，速度v2＝15 km/h，在乙同学家也停留1 h；(下午)13时返回，骑车1 h，速度v3＝30 km/h,14时回到学校．
取出发时的运动方向为正方向，则v1、v2为正，v3为负；10～11时、12～13时速度为0；据此作v－t图，如下图所示．
答案：见解析．
10．如下图所示是某运动物体的x－t图象，它是一条抛物线．由图象判断物体可能做什么运动，并求物体第7 s末的瞬时速度的大小．
解析：匀变速直线运动的位移与时间规律为x＝v0t＋1/2at^2，v0、a为定值，因此位移x为时间t的二次函数，由数学知识可知，x－t图象为抛物线，由题意，物体做匀变速直线运动．本题关键在于利用x－t图象求出初速度，设x＝v0t＋1/2at^2，利用图象上两点P(6,48)、Q(8,80)建立方程组：
48 m＝v0×6 s＋1/2×a×6^2 s^2①
80 m＝v0×8 s＋1/2×a×8^2 s^2②
联立①②式，解得v0＝2 m/s，a＝2 m/s2，物体做初速度2 m/s，加速度2 m/s2的匀加速直线运动，v7＝v0＋at7＝(2＋2×7) m/s＝16 m/s.
答案：匀加速直线运动 16 m/s
