爱华网导数的定义及应用
二. 重点、难点：
1. 导数公式：
2. 运算公式
3. 切线，过P（）为切点的的切线，
4. 单调区间
不等式，解为的增区间，解为的减区间。
5. 极值
（1）时，，时，
∴ 为极大值
（2）时，时，
∴ 为的极小值。
【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
解：（1） ∴
（2）
（3）
[例2] 若曲线在点P处的切线平行于直线，则P点坐标为 。
解：，令 ∴
∴ ∴ P（1，0）
[例3] 如果函数的图象在处的切线过点（0，）并且与圆C：相离，则点（）与圆C的位置关系 。
解： ∴ 切
过（0，） ∴ ∴
与圆相离，
∴ ∴ ∴ 点（）在圆内
[例4] ，则= 。
解： 令，
∴ ∴ ∴
[例5] 函数在上可导，且，则时有（ ）
A. B.
C. D.
解：令 ∴
∴ ∴
∴ 任取 ∴
即 故选C
[例6] 分别为定义在R上的奇函数、偶函数。
时，，则不等式的解为 。
解：令 ∴
∴
奇，偶奇函数 ∵ ∴
∴ 解为
[例7] 如图，为的大致图象，则 。
解：
[例8] 求导数的极值 。
解：
列表
[例9] 已知函数在处取得极值2。
（1）求的解析式；
（2）满足什么条件时，区间（）为函数增区间；
（3）若P（）为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。
解：
∴
∴
列表 ∴ （－1，1）↑ （1，+∞）↓
令
∴
[例10] 的图象均过P（2，0）且在P点处有相同的切线。（1）求；（2）设，求的单调区间。
解：过P（2，0）
∴
[例11] 在[0，1]↓[1，2]↑。
（1）求；（2），若集合中恰有三个元素，求的范围。
解：
即
∴
[例12]
（1）在x=1，x=3处取得极值，求；
（2）在，且，求证：
（3）在（2）的条件下，比较与大小关系。
解：（1）
∴
（2）
∴
（3）
*
∵ ∴ ∴ *式 ∴
【模拟试题】
1. 若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数在区间上是减函数，那么（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值
3. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
4. 已知，过点A（1，m）（）可作曲线的三条切线，则m的取值范围是（ ）
A.（－1，1） B.（－2，3） C.（－1，2） D.（－3，－2）
5. 已知，记，（），则 ； 。
6. 过点A（2，－2）作曲线的切线，则切线方程为 。
7. 已知函数
（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数的值；
（2）求证：当时，在（－2，）上单调递减。
8. 已知函数的图象在点P（1，0）处的切线与直线平行。
（1） 求的值
（2） 求函数的单调区间
（3） 求函数在区间上的最小值和最大值
9. 函数（为常数且，）取极小值时，求的值。
10. 设（为自然对数的底，为常数且），取极小值时，求的值。
11. 已知函数（）的图象关于原点对称，且当时，取得极值。
（1）求的值；
（2）若点A（），B（）是函数图象上任意两点，且。求证：过A点的切线不可能与过B点的切线垂直；
（3）若，且，求证：。
12. 已知函数
（1）点P（）（0）在曲线上，求曲线在点P处的切线与轴和y轴的正半轴所围成的三角形面积（用表示）；
（2）证明：当，且时，。
13. 已知函数
（1）点P在曲线上，若点P的横坐标是，求曲线在点P处的切线与轴和y轴的正半轴所围成的三角形面积；
（2）证明：当，且时，。
【试题答案】
1. C 2. B 3. D 4. D 5.
