爱华网∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数
∴f（x）=x|x|奇函数
当x≥0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得
函数f（x）在R上增函数
又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x?|x|=2x?|2x|=f（2x）
故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，
即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立
即x＜2a恒成立
即a+1＜2a
解得a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）
考点：
考点名称：函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a,b均不为零，若：
（1）函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|
（2）函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|
（3）函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|
（4）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|2a|
（5）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|4a|
分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
