爱华网统练（二）
【模拟试题】
第I卷（选择题 共50分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. “成等差数列”是“成立”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下图，则样本在区间上的频率为（ ）
A. 0.5 B. 0.7 C. 0.25 D. 0.05
分组
频数
2
3
4
5
4
2
3. 已知展开式的第4项为，则实数x的值是（ ）
A. B. C. D. 4
4. 在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数的图像和的图像关于点对称，则的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
6. 直线与圆相交于两点M、N，若满足，则（O为坐标原点）等于（ ）
A. B. C. 0 D. 1
7. 已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. （1，3）
8. 一个旅游景区如下图所示，某人从点P处进，点Q处出，游览三个景点A、B、C及沿途风光，则不同的游览线路种数最少为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 48
9. 已知椭圆E的离心率为，两焦点为，抛物线C以为顶点，P为两曲线的一个交点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 设，，且，则（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共100分）
二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 的值为
12. 不等式的解集为
13. 如果实数满足条件那么的最大值为
14. 抛物线上的点到直线的距离的最小值是_________
15. 已知函数，直线。若当时，函数的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是
16. 数列满足递推式，又，则使得为等差数列的实数
三. 解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分12分，第1小问满分4分，第2小问满分4分，第3小问满分4分）
在中，角A、B、C的对边分别为，若。
（1）求证：A=B；
（2）求边长c的值；
（3）若，求的面积。
18. （本小题满分12分，第1小问满分6分，第2小问满分6分）
通讯中，发报方常采取重复发送同一信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误的情况是：“发0收到1”或“发1收到0”，它们发生的概率都是0.05。
（1）若一个信号连续发2次，接收时“两次信号相同”，接收方接收信号；否则不接收，则接收方接收一个信号的概率是多少？
（2）若一个信号连续发3次，按“少数服从多数”的原则接收，则正确接收一个信号的概率是多少？
19. （本小题满分15分，第1小问满分5分，第2小问满分5分，第3小问满分5分）
已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE。
（1）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（2）求证：BE⊥平面PCD；
（3）求二面角A—PD—B的大小。
20. （本小题满分15分，第1小问满分5分，第2小问满分10分）
已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P。
（1）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（2）过点M作直线与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若
，且，求直线与直线MN夹角的取值范围。
21. （本小题满分16分，第1小问满分6分，第2小问满分5分，第3小问满分5分）
已知函数的定义域为[0，1]，且同时满足：① ；② 对一切恒成立；③ 若，，，则，
（1）求函数的最大值和最小值；
（2）试比较与的大小；
（3）某同学发现：当时，有，由此他提出猜想：对一切，都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由。
【试题答案】
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. A 7. C 8. D
9. A 10. D
二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 12. 13. 1 14.
15. 16.
三. 解答题（本大题共5小题，共70分）
17. 解：（1）∵
∴ ，即（1分）
由正弦定理得
∴ （2分）
∵ （3分）
∴ ∴ A=B（4分）
（2）∵ ∴ （5分）
由余弦定理得，即（6分）
∵ 由（1）得 ∴ ∴ （8分）
（3）∵
∴ （9分）
即 ∴ （10分）
∵ ∴ ，
∴ 为正三角形（11分）
∴ （12分）
18. 解：（1）正确接收一个信号的概率为
（2分）
错误接收一个信号的概率为
（4分）
∴ 接收方接收一个信号的概率为
（6分）
（2）考虑对立事件，错误接收一个信号的概率为
∴ 正确接收一个信号的概率为（12分）
19. 解：（1）取BC中点F，连结AF，则CF=AD，且CF//AD
∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ AF//CD
∴ ∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角（2分）
∵ PB⊥平面ABCD ∴ PB⊥BA，PB⊥BF
∵ PB=AB=BF=1 ∴ AB⊥BC ∴ PA=PF=AF=（4分）
∴ 是正三角形，∠PAF=60°
即异面直线PA与CD所成的角等于60°（5分）
（2）在中，PB=1， ∴
∵ DE=2PE ∴
则 ∴ ～ ∴ BE⊥PD（7分）
由（1）知，CF=BF=DF ∴ ∠CDB=90°
∴ CD⊥BD 又PB⊥平面PBD ∴ PB⊥CD
∵ PBBD=B ∴ CD⊥平面PBD ∴ CD⊥BE（9分）
∵ CDPD=D ∴ BE⊥平面PCD（10分）
（3）连结AF，交BD于点O，则AO⊥BD
∵ PB⊥平面ABCD ∴ 平面PBD⊥平面ABD ∴ AO⊥平面PBD
过点O作OH⊥PD于点H，连结AH，则AH⊥PD
∴ ∠AHO为二面角A—PD—B的平面角（12分）
在中，
在中，（14分）
在中，
∴ ∠AHO=60°
即二面角A—PD—B的大小为60°（15分）
20. 解：（1）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O
建立直角坐标系（1分）
∵ PM－PN=（PE+EM）－（PF+FN）=MD－ND=2
或PM－PN=（PE+EM）－（PF+FN）=MD－ND=－2（3分）
∴ 点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点）
其轨迹方程为（5分）
（2）∵ ，且
∴ （6分）
设，，则，
设，代入得，
即
∴ （7分）
① 当时，
∴ （8分）
得，（9分）
∴ ，即
∴ 解得，故（10分）
② 当时
∴ （11分）
得，，即
∵ ，
∴ ，即
∴ 即，故（13分）
由①②得或
则夹角（14分）
∵ 不存在时，直线符合条件，故时，符合题意
∴ （15分）
21. 解：（1）设，，则
∴
∴ ∴ （2分）
则当时，（3分）
在③中，令，得，由②得 ∴ （4分）
∴ 当时，取得最小值为2
当时，取得最大值为3（6分）
（2）在③中，令，得（8分）
∴
则（11分）
（3）对，总存在，满足（13分）
由（1）与（2），得，又
∴
综上所述，对任意，恒成立（16分）
