爱华网第九章 ARIMA模型
已知1867-1938年英国（英格兰及威尔士）绵羊的数量如表1所示，运用时间序列模型预测未来三年英国的绵羊数量。
表1 1867-1938年英国绵羊数量
（一） 序列的平稳性检验 （1）时序图
在workfile的工作区，双击“X”，打开“Series：X”窗口，选择View/Graph,type下选择Basic graph和Line & Symbol，点确定，得到图1。
图1
从图1可以看出，绵羊数量的序列X具有向下的趋势，不平稳。
（2）对序列进行一阶差分，去除趋势。在命令行输入命令：genr DX=d(X)，回车，得到X差分后的序列DX。画DX的时序图，见图2：
图2
从图2可以看出，差分后的序列已经没有趋势，可以初步判断是平稳的。 （3）序列DX平稳的单位根检验
在Series:DX窗口，选择View/Unit Root Test，弹出如下窗口（见图3）。
图3
选择Test type为Augmented Dickey-Fuller，Test for unit root in 选择Level，Include in test equation处依此选择Trend and intercept、intercept、None，Lag length处按默认的选项，由Schwarz Info Criterion自动选择最佳滞后长度。
在选择Trend and intercept后，输出了表2. 表2
根据表2的结果，ADF统计量=-6.403584，相应的P值为0.0000，小于?=0.05，因此拒绝原假设（原假设为序列DX有一个单位根，也即序列DX非平稳），DX是平稳的。在表2中给出了单位根检验的辅助回归结果，其中C和@trend(1867)均不显著（相应的t统计量的p值分别为0.4014，0.4606），因此检验模型中不应包括趋势和截距项。在模型选择处（Include in test equation）重新选择None，得到下表（表3）：
表
3
ADF统计量=-6.430649，相应的P值为0.0000，小于?=0.05，因此拒绝原假设，即DX是平稳的。
（4）DX的白噪声检验
在Series：DX窗口，选择View/Correlogram，在Correlogram Specification下选择Level，点“OK”确定，得到图5。
图4
图 5
从图5 的最后一列，Q统计量的伴随概率P均小于?=0.05，因此应拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即DX是非白噪声的。
（二）模型的识别
根据图5，可知DX序列的自相关系数4阶截尾，偏相关系数3阶截尾，因此可选择MA（4）、AR(3)、ARMA（3，4）模型拟合。相应地，X序列可选择ARIMA(0,1,4)、ARIMA(3,1,0)和ARIMA(3,1,4)。
（三）模型的估计及检验 1、拟合ARIMA(0,1,4)模型
命令： LS D(X) C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) 表
4
写出拟合的方程：
(1?B)Xt??7.1019?(1?0.3715B?0.2149B2?0.4565B3?0.5967B4)?t
s.e.=67.79307，AIC=11.33862，SC=11.49796 模型的显著性检验：
（在Equation窗口，选择View/residual tests/ Correlogram-Q-Statictic:
图6
根据图6，残差序列的Q统计量的p值均大于?=0.05，因此不拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即残差序列是白噪声，拟合模型显著有效。 模型参数的显著性检验： 表5
2、拟合ARIMA(3,1,0)模型
命令： LS D(X) C AR(1) AR(2) AR(3) 在剔除不显著的C后得到估计结果（表6） 表6
写出拟合的方程：
(1?B)Xt?
?t
(1?.4952B?0.2393B2?0.2555B3)
s.e.=67.85262，AIC=11.31567，SC=11.41359 模型的显著性检验：
图 7
根据图7，残差序列的Q统计量的p值均大于?=0.05，因此不拒绝原假设（原假设为：
序列为白噪声），即残差序列是白噪声，拟合模型显著有效。 模型参数的显著性检验：
3、拟合ARIMA(3,1,4)模型
命令： LS D(X) C AR(1) AR(2) AR(3) MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) 在剔除不显著的项后得到估计结果（表8） 表 8
写出拟合的方程：
(1?0.5428B?0.4655B2?0.9965B2?0.3419B4)?t
(1?B)Xt?23
(1?0.2289B?0.6839B)
s.e.=65.21546，AIC=11.27737，SC=11.47321
模型的显著性检验：
图 8
根据图8，残差序列滞后7阶的Q统计量的p值为0.035，小于?=0.05，因此拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即残差序列是非白噪声的，拟合模型不显著。
（四）模型的优化
根据AIC和SC准则，模型ARIMA（3，1，0）优于模型ARIMA（0，1，4），我们选择ARIMA（3，1，0）最为预测模型。
（五）预测
首先扩大样本范围，在命令行输入：expand 1867 1941，然后估计模型ARIMA（3，1，0），在Equation窗口，选择forecast菜单：
图 9 在Forecast sample 里输入要预测的时间，在S.E.(optional)处输入“se”，以便保存预测值的标准误差，点“OK”确定。计算95%的预测区间如下：
其中预测值来自workfile里的xf序列，标准误差来自se序列， 95%的置信下界=预测值xf-1.96*标准误差se； 95%的置信下界=预测值xf+1.96*标准误差se；
1.96为?=0.05时，标准正态分布N（0，1）的临界值。
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