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混沌
chaos
现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态，亦称浑沌。例如，在平稳的气流中从一支点燃着的香烟升起的一缕轻烟,突然卷曲成一团剧烈搅动的烟雾（图1[一缕轻烟突然卷曲成一团剧烈搅动的烟雾]）。控制心脏作有节奏的搏动以维持生命的电脉冲，突然一反常态变得混乱不堪而导致心室纤维颤振和心力衰竭（图2[ 电脉冲收缩心室变成混沌状态，导致纤维颤振]）。这些现象都属于混沌。它们的共同特征是，原来遵循简单物理规律的运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了的形态。1975年，美国数学家J.约克和李天印首先引入了“混沌”的名称。科学家的研究表明，混沌来自非线性（见非线性系统），由非线性所引起的两个变量间依从关系的多值性是导致分岔、跳跃、突变等非线现象的基本原因。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。当系统的参量取值于某个范围内时，由某些初始值引起的运动不是趋向于由物理定律所预期的有序稳态运动形态（如平衡、周期运动和概周期运动），而是趋向于非周期的、看起来杂乱无章的混沌运动形态。混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
表征混沌中无序现象的两个基本特点是：不可预言性和对于初始值的极端敏感依赖性。这是由美国气象学家E.N.洛伦茨在60年代初研究天气预报中大气流动问题时首先揭示的。他通过编制程序在计算机上求解模拟地球大气的一个方程组，发现只要作为实验出发点的初始值有一个微不足道的差异，在混沌状态下同一种过程将导致截然不同的图像。而且由于不可能以无限的精度测量初始值，因此不可能预言任何混沌系统的最后结果。洛伦茨还发现，尽管混沌看起来是杂乱无章的，但仍然具有某种条理性，根据计算机输出的几千个可能的解打印的数字只是在某种状态的范围内是随机分布的。正如每日的天气可以有无穷多不可预测的组态，而逐年的气候多少保持某种稳定性。这种内在有序性的源泉是一种被数学家称之为吸引子的东西，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某个终态而得名。洛伦茨模型的吸引子是一类奇异吸引子，方程的解将无限趋近于此奇异吸引子，来回盘旋形成浑然一体的左右两簇，宛如颤动中的一对蝴蝶翅膀（图3[ 奇异吸引子]）。
为了预言或避免混沌现象的产生，需要研究一个系统由有序过渡到混沌所采取的途径。最早揭示的途径之一是通过倍周期分岔达到混沌，它是70年代中期美国生物学家R.梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首先发现的。梅用一个基本非线性方程来模拟年虫口，使任何一年昆虫的数目只决定于可获得的食物数量和上一年的虫口。按照简单的自然规律，当把食物供应量定到足够的大小时，虫口数便会逐年围绕一个特定的数值振荡;这相应于现实生活中,这一年因食物充足和繁殖增快使下一年有更多的昆虫，而由此导致每个昆虫的食物减少和部分昆虫死于饥饿，结果第三年中只留下来较少的昆虫,如此构成循环重复出现。然而梅的实验发现,当把方程中的食物量取为更高一级数值时，原来围绕一个数值振荡的虫口突然开始绕着两个数值振荡；当把食物供应量再取为高一级数值时，这个循环再度分裂而成为围绕四个数值振荡，振荡长达四倍时间才能回到出发点。此后,随着提高食物量的取值，相继分裂成围绕8、16、32、64、…个数值振荡的循环。最后，在可得到食物的临界值,逐年的虫口数变得完全混乱,既无法预言如何改变也无法解释为何改变。通过倍周期分岔进入混沌的途径有相当的普遍性，已在人类的心脏、某些半导体器件、一些非线性振荡电路等许多现实系统中被观测到。1976年，美国物理学家M.J.费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验,发现当某个决定性参量(在虫口模型中为可得到的食物量)的值升高时,一个系统最终变成混沌状态的方式和速率与方程本身无关，只依赖于现今称为费根鲍姆数的两个常数，δ＝4.6692016091029909…和 =2.5029078750958928485…。δ反映分岔序列的收敛速率。 表示分岔谱和混沌带满足标度无关性，具有嵌套的几何结构。从那时起，科学家们还发现和确定了通向混沌的其他途径，如准周期方式等。
对混沌的研究虽已有一些严格的数学方法，但大量的研究主要依靠计算机数值实验。混沌的研究和许多学科有关。在分析力学中，运用可判断一类近似可积的哈密顿系统（一种非线性动力学系统）中能否出现混沌运动。开放系统的混沌运动的研究与有密切联系。混沌的研究与也紧密相关，两者都研究系统由有序向无序和由无序向有序的转化。在系统科学中，也日益重视对混沌的研究。对混沌研究的应用前景还有待进一步揭示，但科学家们预言，通过对混沌根源和模式的深刻理解，可能会指出一种方法来寻找超声速飞机的更好的形状或核电站的更有效的冷却设备，也可能会找到有助于防止心脏病发作的途径。混沌现象的发现还使人们对于认识确定论与随机论之间的关系得到新的启示。
郑大钟
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