爱华网2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R 2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)?P(A)?P(B) ——文章窝—— 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?4
3?P 3
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)=Cnp(1-p)kkn-k(k=0,1,2,…,n)
第一部分 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5份，共60份。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A、101 B、808 C、1212 D、2012
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7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a
a?b
b成立的充分条件是（ ）
A、a?b且a//b B、a??b C、a//b D、a?
2b
9、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）
A
、 B
、 C、4 D
、 2 / 23
11、方程ay?b2x2?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
12、设函数f(x)?(x?3)3?x?1，{an}是公差不为0的等差数列，
f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14，则a1?a2?????a7?（ ）
A、0 B、7 C、14 D、21 第二部分 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
15、椭圆x
a22?y25?1(a为定值，
且a?的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
3 / 23
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
18、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos2x
2?sinx
2cosx
2?1
2。
（Ⅰ）求函数fhttp://www.wenzhangwo.com/(x)的最小正周期和值域；
10（Ⅱ）若f(?)?，求sin2?的值。
20、(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，常数??0，且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立。
4 / 23
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设a1?0，??100。当n为何值时，数列{lg1an的前n项和最大？
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文类）
【试题总评】历年的四川高考试题都始终遵从源于教材、注重基础、全面考查、突出主干、注重思想、考查本质、多考点想，少考点算、能力立意、突出思维、稳中有进， 2012年高考数学四川卷也不例外，作为四川省最后一届的大纲版学习考试，在此次的高考中，试卷在题型、题量、难度分布上保持了相对的稳定，同时也有适当的创新，在2010年四川高考中把17、18、19题考点内容进行调整后，此次高考试卷也对试题的顺序做了适当的顺序调整，打破了以前的传统式的考题顺序。2012年四川高考数学卷很大一部分试题直接源于教材或由教材上的例题、习题、复习题改变而成，这些试题注重基础知识的理解和运用。例如第(1)、
(5)、(8)等15个题目。从而也充分说明了高考对基础知识的重视，立足于教材、回归到教材、重视课本、减轻学业负担，实施素质教育的导向作用。2012年四川高考数学解答题目注重学生对基础知识的理解和运用，在题型上面略有创新，题目的灵活性加强，不再像以往试题固定 化模式解题。解答题部分注重考察学生的思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识，考察函数，方程的转化、划归，特殊和一般等思想方法。总的来说，2012年四川高考数学试题相对稳定，注重基础，保持了四川卷的命题风格，同时又立足于现行高中数学教材和教学实际试题。
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R 2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?4
3?P 3
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)=Cnp(1-p)kkn-k(k=0,1,2,…,n)
第一部分 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5份，共60份。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
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1、设集合A?{a,b}，B?{b ,c,d}，则A?B?（ ）
A、{b} B、{b,c,d} C、{a,c,d} D、{a,b,c,d
}
2、(1?x)7的展开式中x2的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、
42
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A、101 B、808 C、1212 D、
2012
4、函数y?a?a(a?0,a?1)的图象可能是（ ） x
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5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则sin?CED?（ ）
A
、10 B
、10 C
10 D
15
答案：B
6、下列——好文章——命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
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???a7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使?|a|?b成立的充分条件是（ ） |b|
??????????
A、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|
?x?y??3,
?x?2y?12,??8、若变量x,y满足约束条件?2x?y?12，则的最大值是（ ）
?x?0?
??y?0
A、12 B、26 C、28 D、
33
9、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）
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A
、 B
、 C、4 D
、
10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足?BOP?60?，则A、P两点间的球面距离为（ ）
A
、Rarccos4
3 B、?R4 C
、Rarccos D、?R
3
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11、方程ay?b2x2?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
12、设函数f(x)?(x?3)?x?1，{an}是公差不为0的等差数列，
f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14，则a1?a2?????a7?（ ） 3
A、0 B、7 C、14 D、
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11 /【牛宝宝日记本】 23
第二部分 （非选择题 共90分）
二、 填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
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、函数f(x)?____________。（用区间表示）
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14、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、
A1
N
则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。 CC1的中点，
答案：90
15、椭圆x
a22?y25且a??1(a为定值，
直线x?m与椭圆相交于点A、的左焦点为F，B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
16、设a,b为正实数，现有下列命题：
22①若a?b?1，则a?b?1； ②若1
b?1
a?1，则a?b?1；
?1，则|a?b|?1； 3③若|3④若|a?b|?1，则|a?b|?1。
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其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为1
10和p。 49
50（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
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答：系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243
250…………………………………. ……………………………….12分
考点定位：本题考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件等概念即相关的计算，意在考查考生运用概率知识与方法解决实际问题的能力。
18、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos2x
2?sinx
2cosx
2?1
2。
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；
10（Ⅱ）若f(?)?，求sin2?的值。
19、(本小题满分12分)
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如图，在三棱锥P?ABC中，?APB?90?，?PAB?60?，AB?BC?CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。 （Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。
因为?APB?90?,?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， 不妨设PA?
2，则OD?1,OP?所以CD?OC?AB?4，
?
OP
OC?13， 在Rt?
OCP中，tan?OCP???，
故直线PC与平面ABC
所成的角的大小为arctan13………………………..6分 16 / 23
????（Ⅱ）由（Ⅰ）有AP?(1,????AC?(2,0)，
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20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数??0，且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设a1?0，??100。当n为何值时，数列{lg1an的前n项和最大？
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21、(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A(?1,0)、B(2,0)构成?MAB，且?MBA?2?MAB，设动点M的轨迹为C。 （Ⅰ ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于
|PR|
|PQ|点Q、R，且|PQ|?|PR|，求的取值范围。
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22、(本小题满分14分)
已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 （Ⅰ）用a和n表示f(n)； 2an2与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为
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（Ⅱ）求对所有n都有f(n)?1
f(n)?1?n
n?1成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0?a?1时，比较1
f(1)?f(2)?1
f(2)?f(4)?????1
f(n)?f(2n)与
6?f(1)?f(n?1)
f(0)?f(1)的大小，并说明理由。
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