反正弦函数 反正弦函数-基本介绍,反正弦函数-反正弦恒等式

函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的反函数叫做反正弦函数,记作x=arcsiny。反正弦函数只对这样一个函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。函数f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称”,先画出函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的图像,用平板玻璃或透明纸画好图像,翻转过来。

反正弦函数 反正弦函数-基本介绍,反正弦函数-反正弦恒等式

正弦函数_反正弦函数 -基本介绍


正弦函数y=sinx,x∈[-?π,?π]的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,x∈[-1,1]。
习惯上用x表示自变量,用y表示因变量(函数值),所以反正弦函数写成y=arcsinx的形式
请注意正弦函数y=sinx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
反正弦函数只对这样一个函数y=sinx,x∈[-?π,?π]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。
理解函数y=arcsinx中,y表示的是一个弧度制的角,自变量x是一个正弦值,siny=x或x=siny更易理解。
性质
根据反函数的性质,易得函数y=arcsinx的
arcsinx的含义:
(1)这里的x满足 ;
(2) arcsinx是 (主值区)上的一个角(弧度数);分得再细一点,即当 时, ;当 时, 。
(3)这个角(弧度数)的正弦值等于x,即sin(arcsinx)=x.
函数图象:我们知道这个结论“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”,先画出函数y=sinx在 上的图象,用平板玻璃或透明纸画好图象,翻转过来,从图象上我们可以得到以下两个结论:
(1)反正弦函数y=arcsinx在区间【-1,1】上是增函数;
(2)反正弦函数y=arcsinx的图象关于原点对称,这说明它是奇函数,也就是arcsin(-x)=-arcsinx,x∈【-1,1】.

正弦函数_反正弦函数 -反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)
arcsinx=-arcsin(-x)
arcsin(sinx)=x,x属于[-π/2,π/2]

正弦函数_反正弦函数 -函数图像

我们知道这个结论函数f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称”,
先画出函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的图像,用平板玻璃或透明纸画好图像,翻转过来。

正弦函数_反正弦函数 -证明

单调性

在x,y∈[-π/2,π/2]x<y时:
sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]
∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0
cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0
∴sinx-siny<0,sinx<siny.
∴在-1<x<y<1时,arcsinx<arcsiny
∴是增函数

奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函数,∴y=arcsinx也是奇函数

正弦函数_反正弦函数 -应用

临界角是最少的入射角使得全内反射发生。入射角是由折射界面的法线量度。
其中n2是较低密度介质的折射率,及n1是较高密度介质的折射率。这条方程式是一条斯涅尔定律的简单应用,当中折射角为90°。当入射光线是准确的等于临界角,折射光线会循折射界面的切线进行。以可见光由玻璃进入空气(或真空)为例,临界角约为41.5°。

正弦函数_反正弦函数 -相关领域

旅游社会自然环境地理建筑科学艺术

  

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