爱华网欧拉恒等式的几何直观理解
abada(张宏兵）
欧拉恒等式e^(iπ) + 1 = 0
被认为是数学上最优美的公式之一。如果几何直观地理解了它，那么就再也不会将之遗忘或写错。
先说一个实数可以在实数轴上用一个向量表示，向量长度表示其绝对值，而向量方向可表示其是正数还是负数。
一个实数乘以一个实数向量，还是一个实数向量，这个向量仍然在实数轴上。
要使向量脱离实数轴，向另一个维度旋转，那么，就可以乘以一个虚数i.一个向量乘i这个代数运算，几何意义就是把向量旋转到另一个正交维度上去。
i^0, i^1,i^2,i^3,i^4, 等等，就表示原代表实数1的实单位向量，依次地每次逆时针旋转π/2,所以结果就是1,i,-1,-i,1.即转4次以后就回到了原位。（就像时针从3点逆转到12点，再逆转到9点，再逆转到6点，最后转回到3点。）
实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到一个向量，表示就是：cosθ+isinθ；再根据欧拉公式e^(iθ) = cosθ +isinθ，于是e^(iθ)就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。
e^(iπ)意味着把1向量旋转π角，显然这得到的是-1，然后与1合并可抵消得到0，这样即可几何直观地理解欧拉恒等式。
最后要说，若想把向量旋转到其他更多的维度，一个i操作已经不够用了，需要用到多元数，如j,k等等，而且虚数已经不能表示任意的旋转，只有多阶矩阵才可以表示。
补充：圆偏振光
设光波前进方向z轴（下图指向右侧的轴）。 再需要一个x空间实数轴（下图垂直向上的轴），以及时间参数t,就可以完整地表示光振动矢量，但需要用复数：虚数i所代表的基轴y轴（下图向左侧的轴）是垂直于前进方向z轴和实数空间轴x的.
光矢一边前进一边旋转，转角就可用虚指数exp[i(kz-ωt)]上的指数来表示.(-ω表示右旋。)
这可以作为一种量子力学的虚数来源的直观图像。
